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Polynôme minimal (niveau 2)
Le test comporte 3 questions :
Diagonalisation suivant le corps de base
Sous-espace vectoriel stable dans un R-espace vectoriel
Diagonalisation du produit de deux endomorphismes
La durée indicative du test est de 60 minutes.
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Diagonalisation suivant le corps de base
  1. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie n, . On suppose qu'il existe un entier k, , tel que . Montrer que est diagonalisable.

  2. Soit f un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie , , avec ou , tel que . L'endomorphisme est-il diagonalisable ? (On pourra étudier successivement les cas et ).

Sous-espace vectoriel stable dans un R-espace vectoriel

Soient un -espace vectoriel de dimension finie , .

Soit un endomorphisme de et le polynôme minimal de .

  1. On suppose que le degré de est égal à 1. Que peut-on dire de ?

  2. On suppose que le degré de est supérieur ou égal à 2.

    Il existe donc un polynôme de , de degré 2, noté , qui divise .

    Soit le polynôme de tel que .

    • Montrer qu'il existe un vecteur de tel que soit non nul.

    • Soit un élément de tel que soit non nul. Montrer que le sous-espace vectoriel engendré par et est stable par .

  3. En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel de stable par , de dimension inférieure ou égale à 2.

Diagonalisation du produit de deux endomorphismes

Soient un entier strictement positif et le -espace vectoriel de dimension suivant :

  1. Soit polynôme de .

    Vérifier que est un polynôme de .

  2. Soit l'endomorphisme de défini par .

    Calculer f2.

    En déduire que est inversible et qu'il est diagonalisable.

    Quel est le polynôme minimal de ?

  3. Soit l'endomorphisme de défini par est le polynôme dérivé de . Montrer que n'est pas diagonalisable.

    Le but des deux questions suivantes est de prouver dans deux cas particuliers que l'endomorphisme est diagonalisable.

  4. On considère le cas .

    Calculer le polynôme caractéristique de . En déduire que est diagonalisable ; quel est son polynôme minimal ?

  5. On considère le cas .

    En cherchant des vecteurs propres de , montrer que est diagonalisable, et déterminer son polynôme minimal.

  6. A l'aide des endomorphismes précédents, construire deux endomorphismes diagonalisables dont le produit n'est pas diagonalisable.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Diagonalisation suivant le corps de base
  1. D'après l'hypothèse, le polynôme est un polynôme annulateur de , donc est divisible par le polynôme minimal de f. Dans , corps algébriquement clos, le polynôme est scindé et n'a que des racines simples (les racines -ièmes de l'unité) et il en est de même de tout polynôme qui le divise.

    Donc, d'après le théorème sur la caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l'aide du polynôme minimal, est diagonalisable.

    Ce qu'il faut particulièrement remarquer dans cet exemple, c'est que l'on ne connaît ni le polynôme minimal de , ni son polynôme caractéristique ni ses valeurs propres et évidemment encore moins ses sous-espaces propres, mais que l'on a su justifier qu'il était diagonalisable.

  2. L'hypothèse peut s'écrire , ce qui prouve que le polynôme est un polynôme annulateur de . Donc le polynôme minimal de , noté , divise .

    Si , ce polynôme unitaire est irréductible et par conséquent .

    Ce polynôme n'a pas de racines, donc n'a pas de valeurs propres et n'est donc pas diagonalisable.

    Si , le polynôme s'écrit et n'a que des racines simples. Il en est donc de même de tout polynôme diviseur et donc en particulier du polynôme minimal de . L'endomorphisme est donc diagonalisable.

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Sous-espace vectoriel stable dans un R-espace vectoriel
  1. On suppose que le degré de est égal à 1.

    Comme le polynôme minimal d'un endomorphisme est un polynôme unitaire, il existe un réel tel que ,

    et comme le polynôme minimal de est un polynôme annulateur de , ,

    on en déduit , (en notant par l'application identique de ) :

    l'endomorphisme de est une homothétie.

  2. On suppose que le degré de est supérieur ou égal à 2.

    Comme tout polynôme à coefficients réels se décompose en produit de polynômes de degré 1 ou 2, il existe un polynôme de degré 2 (pas forcément irréductible), noté , qui divise . Soit tel que .

    • Pour démontrer l'existence d'un vecteur de E tel que soit non nul, on fait un raisonnement par l'absurde :

      si pour tout vecteur de est nul, alors on a et le polynôme est un polynôme annulateur de .

      Or le polynôme minimal est le polynôme annulateur de de plus bas degré, et d'après la relation , le degré de est strictement inférieur à celui de , ce qui est absurde.

      Donc il existe un vecteur de tel que soit non nul.

    • Soit un élément de tel que soit non nul.

      On considère le sous-espace vectoriel de engendré par et .

      Soit , un vecteur de .

      Comme , appartient à si et seulement si appartient à .

      Donc est stable par si et seulement si appartient à .

      Or

      et comme , on en déduit donc

      .

      Ceci démontre que le vecteur appartient à .

      Le sous-espace vectoriel engendré par est stable par .

  3. Si est un polynôme de degré 1, il existe un réel tel que Donc (voir la question 1.).

    Soit un vecteur non nul de . Comme , le sous-espace vectoriel de engendré par est stable par et est de dimension 1.

    Si est un polynôme de degré supérieur ou égal à 2, on déduit de la question précédente l'existence d'un sous-espace vectoriel de stable par et de dimension 2.

    Dans les deux cas, il existe un sous-espace vectoriel de stable par et de dimension inférieure ou égale à 2.

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Diagonalisation du produit de deux endomorphismes
  1. Soit . On calcule :

    .

    Donc est un polynôme de .

  2. Soit l'endomorphisme de défini par .

    Soit . On calcule :

    Donc , (en notant par l'application identique de ).

    Comme , est inversible et (on dit que est une involution).

    Comme , le polynôme est un polynôme annulateur de .

    Or le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de .

    Le polynôme est scindé et n'a que des racines simples dans , par conséquent le polynôme minimal de , qui le divise, est scindé dans et n'a que des racines simples dans , donc :

    l'endomorphisme est diagonalisable.

    Le polynôme minimal de est un diviseur de :

    ce n'est pas car n'est pas égal à et ce n'est pas car n'est pas égal à (en effet et est strictement positif), donc :

    le polynôme minimal de est .

  3. Soit l'endomorphisme de défini par est le polynôme dérivé de .

    Soit un entier compris entre 1 et . On peut montrer par récurrence que pour tout entier strictement positif on a :

    Comme tout polynôme non nul de est de degré inférieur ou égal à , on en déduit :

    Ceci entraîne que est un polynôme annulateur de .

    Mais n'est pas un polynôme annulateur de , puisque .

    On en déduit que le polynôme minimal de est

    Comme 0 est une racine multiple de , n'est pas diagonalisable.

  4. Soit . Alors

    Donc .

    On en déduit le polynôme caractéristique de :

    Donc .

    Ce polynôme étant scindé dans et n'ayant que des racines simples, on en conclut que est diagonalisable et que son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique :

    Cette méthode est aussi valable pour et car les polynômes caractéristiques sont simples à calculer, ce qui n'est pas le cas pour plus grand ; on utilise alors une autre méthode.

  5. Soit

    Un polynôme non nul est un vecteur propre de si et seulement si il existe un réel tel que :

    Ce réel est alors une valeur propre de .

    L'image par du polynôme est :

    L'égalité est réalisée si et seulement si les coefficients du polynôme vérifient les systèmes équivalents suivants :

    Si est différent de 0, de 2, de -2, de et de , ces systèmes ont pour seule solution .

    Pour de telles valeurs de , seul le polynôme nul vérifie , donc ces valeurs de ne sont pas des valeurs propres de .

    Mais les valeurs sont des valeurs propres de car ces systèmes ont des solutions non nulles. En effet :

    • Si , les solutions des systèmes sont .

      Par exemple le polynôme est un vecteur propre de associé à la valeur propre 2.

    • Si , les solutions des systèmes sont .

      Par exemple le polynôme est un vecteur propre de associé à la valeur propre -2.

    • Si , les solutions des systèmes sont .

      Par exemple le polynôme est un vecteur propre de associé à la valeur propre .

    • Si , les solutions des systèmes sont

      Par exemple le polynôme T4 est un vecteur propre de associé à la valeur propre

    • Si , les solutions des systèmes sont

      Par exemple le polynôme T4 est un vecteur propre de associé à la valeur propre 0.

    On remarque ainsi que l'endomorphisme a 5 valeurs propres distinctes dans un espace vectoriel de dimension 5, donc cet endomorphisme est diagonalisable et son polynôme minimal est :

    Cette méthode se généralise pour montrer que est diagonalisable quelque soit l'entier .

  6. Dans les questions précédentes, on a montré que les endomorphismes et étaient diagonalisables, mais que ne l'était pas.

    Comme , on a :

    L'endomorphisme est le produit de deux endomorphismes diagonalisables et pourtant n'est pas diagonalisable.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/35
Seuil critique :22
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :60 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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