Diagonalisation suivant le corps de base

Durée : 10 mn

Note maximale : 5

Question

  1. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie n, \(n\ge1\). On suppose qu'il existe un entier k, \(k\ge1\), tel que \(f^k=Id_E\). Montrer que \(f\) est diagonalisable.

  2. Soit f un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(n\ge1\), avec \(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\), tel que \(f^2=-Id_E\). L'endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ? (On pourra étudier successivement les cas \(\mathbf K=\mathbb R\) et \(\mathbf K=\mathbb C\)).

Solution

  1. D'après l'hypothèse, le polynôme \(X^k-1\) est un polynôme annulateur de \(f\), donc est divisible par le polynôme minimal de\(\) f. Dans \(\mathbb C\), corps algébriquement clos, le polynôme \(X^k-1\) est scindé et n'a que des racines simples (les \(k\) racines \(k\)-ièmes de l'unité) et il en est de même de tout polynôme qui le divise.

    Donc, d'après le théorème sur la caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l'aide du polynôme minimal, \(f\) est diagonalisable.

    Ce qu'il faut particulièrement remarquer dans cet exemple, c'est que l'on ne connaît ni le polynôme minimal de \(f\), ni son polynôme caractéristique ni ses valeurs propres et évidemment encore moins ses sous-espaces propres, mais que l'on a su justifier qu'il était diagonalisable.

  2. L'hypothèse \(f^2=-Id_E\) peut s'écrire \(f^2+Id_E=0\), ce qui prouve que le polynôme \(X^2+1\) est un polynôme annulateur de \(f\). Donc le polynôme minimal de \(f\), noté \(P_{min,f}\), divise \(X^2+1\).

    Si \(\mathbf K=\mathbb R\), ce polynôme unitaire est irréductible et par conséquent \(P_{min,f}(X)=X^2+1\).

    Ce polynôme n'a pas de racines, donc \(f\) n'a pas de valeurs propres et n'est donc pas diagonalisable.

    Si \(\mathbf K=\mathbb C\), le polynôme \(X^2+1\) s'écrit \(X^2+1=(X-i)(X+i)\) et n'a que des racines simples. Il en est donc de même de tout polynôme diviseur et donc en particulier du polynôme minimal de \(f\). L'endomorphisme \(f\) est donc diagonalisable.