Sous-espace vectoriel stable dans un R-espace vectoriel
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soient \(E\) un \(\mathbf R\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(n\in\mathbb N^*\).
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(P_{min,f}\) le polynôme minimal de \(f\).
On suppose que le degré de \(P_{minf}\) est égal à 1. Que peut-on dire de \(f\) ?
On suppose que le degré de \(P_{min,f}\) est supérieur ou égal à 2.
Il existe donc un polynôme de \(\mathbf R[X]\), de degré 2, noté \(X^2+aX+b\), qui divise \(P_{min,f}\).
Soit \(Q(X)\) le polynôme de \(\mathbf R[X]\) tel que \(P_{min,f}(X)=(X^2+aX+b)Q(X)\).
Montrer qu'il existe un vecteur \(u\) de \(E\) tel que \((Q(f))(u)\) soit non nul.
Soit \(u\) un élément de \(E\) tel que \(v=(Q(f))(u)\) soit non nul. Montrer que le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par \(v\) et \(f(v)\) est stable par \(f\).
En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\), de dimension inférieure ou égale à 2.
Solution
On suppose que le degré de \(P_{min,f}\) est égal à 1.
Comme le polynôme minimal d'un endomorphisme est un polynôme unitaire, il existe un réel tel que \(P_{min,f}(X)=X_\alpha\),
et comme le polynôme minimal de \(f\) est un polynôme annulateur de \(f\), \(P_{min,f}(f)=0\),
on en déduit \(f=\alpha Id_E\), (en notant par \(Id_E\) l'application identique de \(E\)) :
l'endomorphisme \(f\) de \(E\) est une homothétie.
On suppose que le degré de \(P_{min,f}\) est supérieur ou égal à 2.
Comme tout polynôme à coefficients réels se décompose en produit de polynômes de degré 1 ou 2, il existe un polynôme de degré 2 (pas forcément irréductible), noté \(X^2+aX+b\), qui divise \(P_{min,f}\). Soit \(Q(X)\) tel que \(P_{min,f}(X)=(X^2+aX+b)Q(X)\).
Pour démontrer l'existence d'un vecteur \(u\) de E tel que \((Q(f))(u)\) soit non nul, on fait un raisonnement par l'absurde :
si pour tout vecteur \(u\) de \(E, (Q(f))(u)\) est nul, alors on a \(Q(f)=0\) et le polynôme \(Q\) est un polynôme annulateur de \(f\).
Or le polynôme minimal \(P_{min,f}\) est le polynôme annulateur de \(f\) de plus bas degré, et d'après la relation \(P_{min,f}(X)=(X^2+aX+b)Q(X)\), le degré de \(Q(X)\) est strictement inférieur à celui de \(P_{min,f}(X)\), ce qui est absurde.
Donc il existe un vecteur \(u\) de \(E\) tel que \((Q(f))(u)\) soit non nul.
Soit \(u\) un élément de \(E\) tel que \(v=(Q(f))(u)\) soit non nul.
On considère \(F=Vect(\{v,f(v)\})\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(v\) et \(f(v)\).
Soit \(w=\alpha v+\beta f(v), (\alpha, \beta)\in\mathbb R^2\), un vecteur de \(F\).
Comme \(f(w)=\alpha f(v)+\beta f^2(v)\), \(f(w)\) appartient à \(F\) si et seulement si \(f^2(v)\) appartient à \(F\).
Donc \(F\) est stable par \(f\) si et seulement si \(f^2(v)\) appartient à \(F\).
Or
\(P_{min,f}(f)(u)=(f^2+af+bId_E)(v)=f^2(v)+af(v)+bv\)
et comme \(P_{min,f}(f)=0\), on en déduit \(P_{min,f}(f)(u)=0\) donc
\(f^2(v)=-af(v)-bv\).
Ceci démontre que le vecteur \(f^2(v)\) appartient à \(F\).
Le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par \(\{v,f(v)\}\) est stable par \(f\).
Si \(P_{min,f}\) est un polynôme de degré 1, il existe un réel \(\alpha\) tel que \(P_{min,f}(X)=X-a.\) Donc \(f=\alpha Id_E\) (voir la question 1.).
Soit \(w\) un vecteur non nul de \(E\). Comme \(f(w)=\alpha w\), le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(w\) est stable par \(f\) et est de dimension 1.
Si \(P_{min,f}\) est un polynôme de degré supérieur ou égal à 2, on déduit de la question précédente l'existence d'un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\) et de dimension 2.
Dans les deux cas, il existe un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\) et de dimension inférieure ou égale à 2.