Polynôme minimal

Soit \(P(T)=a_0+a_1T+...+a_nT^n\). On calcule \(T^nP(\frac{1}{T})\) :

\(T^nP\left(\frac{1}{T}\right)=T^n\left(a_0+\frac{a_1}{T}+\frac{a_2}{T^2}+...+\frac{a_n}{T^n}\right)=a_0T^n+a_1T^{n-1}+...+a_{n-1}T+a_n\).

Donc \(T^nP(\frac{1}{T}\) est un polynôme de \(E\).

Soit \(f\) l'endomorphisme de \(E\) défini par \(f(P(T))=T^nP(\frac{1}{T})\).

Soit \(P(T)=a_0+a_1T+...+a_nT^n\). On calcule \(f^2(P(T))\) :

\(f^2(P(T))=f(f(a_0+a_1T+...+a_nT^n))\)

\(=f(a_0T^n+a_1T^{n-1}+...+a_n))\)

\(=a_0+a_1T+...+a_nT^n\)

\(=P(T)\)

Donc \(f^2=Id_E\), (en notant par \(Id_E\) l'application identique de \(E\)).

Comme \(f\bigcirc f=Id_E\), \(f\) est inversible et \(f^{-1}=f\) (on dit que \(f\) est une involution).

Comme \(f^2=Id_E\), le polynôme \(X^2-1\) est un polynôme annulateur de \(f\).

Or le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de \(f\).

Le polynôme \(X^2-1\) est scindé et n'a que des racines simples dans \(\mathbb R\), par conséquent le polynôme minimal de \(f\), qui le divise, est scindé dans \(\mathbb R\) et n'a que des racines simples dans \(\mathbb R\), donc :

l'endomorphisme \(f\) est diagonalisable.

Le polynôme minimal de \(f\) est un diviseur de \(X^2-1\) :

ce n'est pas \(X-1\) car \(f\) n'est pas égal à \(Id_E\) et ce n'est pas \(X+1\) car \(f\) n'est pas égal à \(-Id_E\) (en effet \(f(1)=T^n\) et \(n\) est strictement positif), donc :

le polynôme minimal de \(f\) est \(X^2-1\).

Soit \(D\) l'endomorphisme de \(E\) défini par \(D(P)=P'\) où \(P'\) est le polynôme dérivé de \(P\).

Soit \(r\) un entier compris entre 1 et \(n\). On peut montrer par récurrence que pour tout entier \(k\) strictement positif on a :

\(\forall k,0<k\le r,D^k(T^r)=r(r-1)...(r-k+1)T^{r-k},\)

\(\forall,k>r, D^k(T^r)=0.\)

Comme tout polynôme non nul \(P\) de \(E\) est de degré inférieur ou égal à \(n\), on en déduit :

\(\forall P\in E, D^{n+1}(P)=0\)

Ceci entraîne que \(X^{n+1}\) est un polynôme annulateur de \(D\).

Mais \(X^n\) n'est pas un polynôme annulateur de \(D\), puisque \(D^n(T^n)=n !\).

On en déduit que le polynôme minimal de \(D\) est \(X^{n+1}.\)

Comme 0 est une racine multiple de \(X^{n+1}\), \(D\) n'est pas diagonalisable.

Soit \(n=3\). Alors

\((D\bigcirc f)(a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3)=D(a_0T^3+a_1T^2+a_2T+a_3)=a_2+2a_1T+3a_0T^2\)

Donc \((D\bigcirc f)(1)=3T^2,(D\bigcirc f)(T^2)=1,(D\bigcirc f)(T^3)=0\).

On en déduit le polynôme caractéristique de \(D\bigcirc f\) :

\(P_{car,D\bigcirc f}(X)=\left|\begin{array}{cccccccc} -X&0&1&0& \\ 0&2-X&0&0 \\ 3&0&-X&0 \\ 0&0&0&-X\end{array}\right|=-X(2-X)\left|\begin{array}{cccccccc} -X&1\\ 3&-X \end{array}\right| =X(X-2)(X^2-3)\)

Donc \(P_{car,D\bigcirc f}(X)=X(X-2)(X-\sqrt3)(X+\sqrt3)\).

Ce polynôme étant scindé dans \(R\) et n'ayant que des racines simples, on en conclut que \(D\bigcirc f\) est diagonalisable et que son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique :

\(P_{min,f,D\bigcirc f}(X)=X^4-2X^3-3X^2+6X\)

Cette méthode est aussi valable pour \(n=1\) et \(n=2\) car les polynômes caractéristiques sont simples à calculer, ce qui n'est pas le cas pour \(n\) plus grand ; on utilise alors une autre méthode.

Soit \(n=4\)

Un polynôme \(P\) non nul est un vecteur propre de \(D\bigcirc f\) si et seulement si il existe un réel \(\lambda\) tel que :

\((D\bigcirc f)(P)=\lambda P\)

Ce réel \(\lambda\) est alors une valeur propre de \(D\bigcirc f\).

L'image par \(D\bigcirc f\) du polynôme \(P(T)=a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+a_4T^4\) est :

\((D\bigcirc f)(a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+a_4T^4)=D(a_0T^4+a_1T^3+a_2T^2+a_3T+a_4)=a_3+2a_2T+3a_1T^2+4a_0T^3\)

L'égalité \((D\bigcirc f)(P(T))=\lambda P(T)\) est réalisée si et seulement si les coefficients du polynôme \(P(T)\) vérifient les systèmes équivalents suivants :

\(\left\{\begin{array}{cccccccc} a_3&=\lambda a_0 \\ 2a_2&=\lambda a_1 \\ 3a_1&=\lambda a_2\\4a_0&=\lambda a_3\\0&=\lambda a_4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cccccccc} &\lambda a_4& & & & &=0 \\ & &a_3& & & -\lambda a_0&=0 \\ & & &2a_2&-\lambda a_1& &=0 \\& & & &(\lambda^2-6)a_1& &=0 \\ & & & & &(\lambda^2-4)a_0&=0 \end{array}\right.\)

Si \(\lambda\) est différent de 0, de 2, de -2, de \(\sqrt6\) et de \(-\sqrt6\), ces systèmes ont pour seule solution \((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=(0,0,0,0,0)\).

Pour de telles valeurs de \(\lambda\), seul le polynôme nul vérifie \((D\bigcirc f)(P)=\lambda P\), donc ces valeurs de \(\lambda\) ne sont pas des valeurs propres de \(D\bigcirc f\).

Mais les valeurs \(\lambda=2, \lambda=-2,\lambda=\sqrt6, \lambda=-\sqrt6, \lambda=0\) sont des valeurs propres de \(D\bigcirc f\) car ces systèmes ont des solutions \((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\) non nulles. En effet :

• Si \(\lambda=2\), les solutions des systèmes sont \(\{x=((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5/\exists a\in\mathbb R,x=(a,0,0,2a,0)\}\).

  Par exemple le polynôme \(1+2T^3\) est un vecteur propre de \(D\bigcirc f\) associé à la valeur propre 2.

• Si \(\lambda=-2\), les solutions des systèmes sont \(\{x=((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5/\exists a\in\mathbb R,x=(a,0,0,-2a,0)\}\).

  Par exemple le polynôme \(1-2T^3\) est un vecteur propre de \(D\bigcirc f\) associé à la valeur propre -2.

• Si \(\lambda=\sqrt6\), les solutions des systèmes sont \(\{x=((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5/\exists a\in\mathbb R,x=(0,a,\frac{\sqrt6}{2}a,0,0)\}\).

  Par exemple le polynôme \(T`\frac{\sqrt6}{2}T^2\) est un vecteur propre de \(D\bigcirc f\) associé à la valeur propre \(\sqrt6\).

• Si \(\lambda=-\sqrt6\), les solutions des systèmes sont \(\{x=((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5/\exists a\in\mathbb R,x=(0,a,-\frac{\sqrt6}{2}a,0,0)\}.\)

  Par exemple le polynôme T⁴ est un vecteur propre de \(D\bigcirc f\) associé à la valeur propre \(-\sqrt6.\)

• Si \(\lambda=0\), les solutions des systèmes sont \(\{x=((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5/\exists a\in\mathbb R,x=(a,0,0,-2a,0)\}.\)

  Par exemple le polynôme T⁴ est un vecteur propre de \(D\bigcirc f\) associé à la valeur propre 0.

On remarque ainsi que l'endomorphisme \(D\bigcirc f\) a 5 valeurs propres distinctes dans un espace vectoriel de dimension 5, donc cet endomorphisme est diagonalisable et son polynôme minimal est :

\(P_{min,D\bigcirc f}=X(X-2)(X+2)(X-\sqrt6)(X+\sqrt6)=X^5-10X^3+24X\)

Cette méthode se généralise pour montrer que \(D\bigcirc f\) est diagonalisable quelque soit l'entier \(n\).

Dans les questions précédentes, on a montré que les endomorphismes \(f\) et \(D\bigcirc f\) étaient diagonalisables, mais que \(D\) ne l'était pas.

Comme \(f^2=Id_E\), on a :

\(D=(D\bigcirc f)\bigcirc f\)

L'endomorphisme \(D\) est le produit de deux endomorphismes diagonalisables et pourtant \(D\) n'est pas diagonalisable.