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Relation entre polynôme minimal et polynôme caractéristique

On a le théorème suivant

Théorème : Relation entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie (ou une matrice carrée d'ordre ). Le polynôme minimal de (respectivement de ) divise le polynôme caractéristique de (respectivement de ).

Il s'en déduit en particulier la propriété suivante :

Corollaire

Le degré du polynôme minimal est inférieur ou égal à .

Cela améliore nettement le seul renseignement sur le degré du polynôme minimal résultant de sa construction, à savoir : deg .

L'intérêt de ce théorème est de donner un moyen supplémentaire pour déterminer le polynôme minimal.

En effet, le polynôme caractéristique étant calculé, on peut restreindre les possibilités pour le polynôme minimal en faisant la liste de tous les diviseurs du polynôme caractéristique et en éliminant ceux qui n'ont pas les mêmes racines que le polynôme caractéristique.

Ensuite il ne reste plus qu'à chercher parmi les polynômes restants les polynômes annulateurs et plus précisément celui de plus bas degré.

Un résultat sur les facteurs irréductibles du polynôme caractéristique et du polynôme minimal (étudié à la fin de cette ressource) permet encore d'affiner ce « crible ».

Exemple

Soit la matrice à coefficients réels . Son polynôme caractéristique, égal à det se calcule facilement. Le résultat obtenu est

.

Pour déterminer le polynôme minimal de , on fait les remarques suivantes :

  • il admet et comme racines,

  • il divise

  • il est unitaire.

Il n'y a donc que deux possibilités ou . Pour conclure il suffit de calculer . Si le résultat est la matrice nulle, le polynôme minimal de est , sinon c'est . Tous calculs faits on trouve ici et donc :

Cela prouve que la matrice est diagonalisable puisque est scindé dans et n'a que des racines simples.

Exemple

Soit la matrice à coefficients réels . Son polynôme caractéristique, égal à det , se calcule facilement. Le résultat obtenu est .

Pour déterminer le polynôme minimal de on fait les remarques suivantes :

  • il admet comme unique racine,

  • il divise

  • il est unitaire.

Il n'y a donc que trois possibilités ou ou . Or la matrice est différente de , donc n'est pas un polynôme annulateur de . Pour conclure, il suffit alors de calculer . On trouve la matrice nulle donc .

Une application
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