Première méthode : méthode vectorielle utilisant la triangularisation

Cette méthode, est faite, dans le cadre de ce cours, pour une matrice à coefficients réels que l'on considère, quand cela est utile, comme un élément de .

Elle nécessite la proposition suivante :

Proposition : Condition nécessaire et suffisante de triangularisation

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie de matrice dans une base de (ou bien une matrice carrée d'ordre , matrice d'un endomorphisme de dans la base canonique). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. L'endomorphisme ou la matrice est triangularisable (c'est-à-dire qu'il existe une base de dans laquelle la matrice associée à est triangulaire ou bien est semblable à une matrice triangulaire)

  2. Le polynôme caractéristique de ou de se factorise en un produit de polynômes de degré dans , autrement dit est scindé dans .

Preuve : Preuve de la condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice (ou un endomorphisme) soit triangularisable

Il est immédiat que 1. implique 2. (calcul du polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire)

Montrons que 2. implique 1. par récurrence sur la dimension de l'espace considéré.

Si est une homothétie et est évidemment triangularisable.

Supposons le résultat valable à l'ordre et soit un espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de vérifiant la propriété 2.

D'après l'hypothèse 2., admet des valeurs propres. Soit une valeur propre de . Il existe donc un vecteur non nul tel que . La partie est libre. Donc d'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter cette partie de manière à obtenir une base de , de la forme : .

La matrice associée à par rapport à cette base est donc de la forme est une matrice carrée d'ordre une matrice ligne à colonnes et la matrice à lignes et une colonne dont tous les coefficients sont nuls.

D'une manière générale, désigne la matrice nulle de .

On a donc .

Comme se décompose en produit de polynômes de degré aussi.

Or est la matrice d'un endomorphisme de , qui est bien un espace vectoriel de dimension . L'hypothèse de récurrence peut donc être appliquée et est triangularisable.

Il existe donc une matrice inversible et une matrice triangulaire , appartenant toutes les deux à , telles que .

On a alors l'égalité matricielle

Soit .

La matrice est triangulaire, les deux matrices et sont inverses l'une de l'autre. Donc est triangularisable.

Le corollaire suivant est une conséquence immédiate de cette proposition lorsque , puisque, étant algébriquement clos, la propriété 2. est toujours satisfaite dans .

Corollaire : Important

Tout endomorphisme d'un -espace vectoriel, ou toute matrice carrée à coefficients complexes, est triangularisable.

Méthode : Principe de la première méthode
  • Première étape : le corollaire précédent et un calcul simple montrent qu'il suffit de démontrer le théorème pour les matrices triangulaires de .

  • Deuxième étape : Alors si sont les éléments de la diagonale principale d'une matrice triangulaire de , il s'agit de montrer que .

  • Troisième étape : Pour ce faire, on introduit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à et on montre que .

Démonstration : Démonstration complète de la première méthode

Première étape

Soit un élément de que l'on considère comme un élément de . Alors dans est triangularisable ; il existe donc une matrice inversible appartenant à telle que soit une matrice triangulaire appartenant à .

Puisque les matrices et sont semblables, elles ont même polynôme caractéristique,

Comme , on a

.

Pour montrer que , il suffit donc de prouver que . On s'est donc ramené à démontrer le théorème pour une matrice triangulaire.

Deuxième étape

Soient les éléments (non nécessairement distincts) de la diagonale principale de . Le polynôme caractéristique de s'écrit ,

soit .

Il s'agit donc de montrer que .

Troisième étape

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à . On veut donc prouver que .

Soit le terme général de la matrice . Comme cette matrice est triangulaire (supérieure) et admet comme éléments diagonaux les , on a

c'est-à-dire :

Cela signifie pour l'endomorphisme les égalités suivantes :

,

d'où, pour tout supérieur ou égal à

Et pour

Alors, si est le sous espace vectoriel engendré par , il en résulte les inclusions suivantes :

.

Des inclusions et , on déduit :

En continuant ainsi,

et comme on a l'égalité :

il vient finalement :

Comme , cela prouve que :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)