Deuxième méthode : méthode vectorielle utilisant la notion de matrice compagnon

Elle est rapide et élégante à condition de connaître la notion de matrice compagnon d'un polynôme.

De quoi s'agit-il ?

Soit un polynôme à coefficients dans un corps . On démontre qu'il existe une matrice carrée d'ordre dont le polynôme caractéristique est égal à .

Cette matrice est égale à

et est appelée matrice compagnon de .

Méthode : Principe de la deuxième méthode
  • Première étape :

    Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie supérieur ou égal à .

    Pour tout vecteur non nul de , on construit une base de , dépendant de , dans laquelle la matrice de est de la forme avec de la forme .

  • Deuxième étape :

    On calcule le polynôme caractéristique de à partir de cette matrice, et l'on en déduit que .

  • Troisième étape :

    Comme cela est vrai pour tout x, on en déduit que .

Démonstration : Démonstration complète de la deuxième méthode

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie supérieur ou égal à .

Première étape

Si est un élément non nul de , il existe un plus petit entier strictement positif tel que la famille soit liée, ce qui peut être traduit de la manière suivante :

  • La famille est libre (puisque est le plus petit entier convenant).

  • Il existe des scalaires tels que

Remarque

Pour ceux qui connaissent cette notion, c'est le polynôme minimal de relativement à l'endomorphisme .

Retournons à la démonstration.

Démonstration

On complète la famille libre pour obtenir une base de et on écrit la matrice associée à dans cette base.

Or, on peut remarquer que le sous-espace vectoriel engendré par est stable par (cela résulte de la relation ). Donc la matrice associée à dans la base est bien de la forme annoncée, soit est la matrice de la restriction de au sous-espace vectoriel

vect , soit

puisque

Deuxième étape

D'après le calcul par blocs des déterminants, on a

Alors et

Or on reconnaît dans la matrice la matrice compagnon du polynôme et donc

.

La relation

prouve donc que . Alors on déduit de ce résultat et de la relation

que , pour tout de .

Troisième étape

Par suite ce qui achève la démonstration.

Remarque

Cette méthode est indépendante du corps de base.

Légende :
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