Deuxième méthode : méthode vectorielle utilisant la notion de matrice compagnon
Elle est rapide et élégante à condition de connaître la notion de matrice compagnon d'un polynôme.
De quoi s'agit-il ?
Soit \(P(X)=a_0+a_1X+\cdots a_{r-1}X^{r-1}+X^r\) un polynôme à coefficients dans un corps \(\mathbf K\). On démontre qu'il existe une matrice carrée d'ordre \(r\) dont le polynôme caractéristique est égal à \((-1)^rP(X)\).
Cette matrice est égale à \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccccc}0&\cdots&\cdots&0&-a_0\\1&0&&\vdots&-a_1\\0&1&\ddots&\vdots&\\\vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{r-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{r-1}\end{array}\right)(*)}\)
et est appelée matrice compagnon de \(P\).
Méthode : Principe de la deuxième méthode
Première étape :
Soit \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n, n\) supérieur ou égal à \(1\).
Pour tout vecteur non nul \(x\) de\( E\), on construit une base de \(E\), dépendant de \(x\), dans laquelle la matrice de \(f\) est de la forme \(\left(\begin{array}{cc}A&B\\0&C\end{array}\right)\) avec \(A\) de la forme \((*)\).
Deuxième étape :
On calcule le polynôme caractéristique de \(f\) à partir de cette matrice, et l'on en déduit que \([P_{\textrm{car},f}(f)](x)=0\).
Troisième étape :
Comme cela est vrai pour tout x, on en déduit que \(P_{\textrm{car},f}(f)=0\).
Démonstration : Démonstration complète de la deuxième méthode
Soit \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n, n\) supérieur ou égal à \(1\).
Première étape
Si \(x\) est un élément non nul de \(E\), il existe un plus petit entier \(p\) strictement positif tel que la famille \(\{x,f(x),\cdots,f^p(x)\}\) soit liée, ce qui peut être traduit de la manière suivante :
La famille \(\{x,f(x),\cdots,f^{p-1}(x)\}\) est libre (puisque \(p\) est le plus petit entier convenant).
Il existe des scalaires \(a_0,a_1,\cdots,a_{p-1}\) tels que \((**)\quad a_0x+a_1f(x)+\cdots+a_{p-1}f^{p-1}(x)+f^p(x)=0\)
Remarque :
Pour ceux qui connaissent cette notion, c'est le polynôme minimal de \(x\) relativement à l'endomorphisme \(f\).
Retournons à la démonstration.
Démonstration :
On complète la famille libre \(\{x,f(x),\cdots,f^{p-1}(x)\}\) pour obtenir une base \(B_x=(x,f(x),\cdots,f^{p-1}(x),\epsilon_{p+1},\cdots,\epsilon_n)\) de \(E\) et on écrit la matrice associée à \(f\) dans cette base.
Or, on peut remarquer que le sous-espace vectoriel engendré par \(\{x,f(x),\cdots,f^{p-1}(x)\}\) est stable par \(f\) (cela résulte de la relation \((**)\)). Donc la matrice associée à \(f\) dans la base \(B_x\) est bien de la forme annoncée, soit \(\left(\begin{array}{cc}A_x&B_x\\0&C_x\end{array}\right)\) où \(A_x\) est la matrice de la restriction de \(f\) au sous-espace vectoriel
vect\((\{x,f(x),\cdots,f^{p-1}(x)\})\), soit \(A_x=\displaystyle{\left(\begin{array}{ccccc}0&\cdots&\cdots&0&-a_0\\1&0&&\vdots&-a_1\\0&1&\ddots&\vdots&\\\vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{p-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{p-1}\end{array}\right)}\)
puisque \(\forall k,1\leq k< p-1,f(f^k(x))=f^{k+1}(x)\)
\(f(f^{p-1}(x))=f^p(x)=-a_0x-a_1f(x)-\cdots-a_{p-1}f^{p-1}(x)\)
Deuxième étape
D'après le calcul par blocs des déterminants, on a
\((1)\quad P_{\textrm{car},f}(X)=P_{\textrm{car},A_x}(X)P_{\textrm{car},C_x}(X)=P_{\textrm{car},C_x}(X)P_{\textrm{car},A_x}(X)\)
Alors \(P_{\textrm{car},f}(f)=P_{\textrm{car},C_x}(f)\bigcirc P_{\textrm{car},A_x}(f)\) et \([P_{\textrm{car},f}(f)](x)=[P_{\textrm{car},C_x}(f)](P_{\textrm{car},A_x}(f)(x))\)
Or on reconnaît dans la matrice \(A_x\) la matrice compagnon du polynôme \(a_0+a_1X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1}+X^p\) et donc
\(P_{\textrm{car},A_x}(X)=(-1)^p(a_0+a_1X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1}+X^p)\).
La relation \((**)\) \(a_0x+a_1f(x)+\cdots+a_{p-1}f^{p-1}(x)+f^p(x)=0\)
prouve donc que \([P_{\textrm{car},A_x}(f)](x)=0\). Alors on déduit de ce résultat et de la relation
\([P_{\textrm{car},A_x}(f)](x)=[P_{\textrm{car},C_x}(f)](P_{\textrm{car},A_x}(f)(x))\)
que \([P_{\textrm{car},f}(f)](x)=0\), pour tout \(x\) de \(E\).
Troisième étape
Par suite \(P_{\textrm{car},f}(f)=0\) ce qui achève la démonstration.
Remarque :
Cette méthode est indépendante du corps de base.