Exercice 1

Partie

On considère une suite décroissante (\(u_n\)) à termes positifs telle que la série \(\sum u_n\) soit convergente.

Question

Montrer que la suite (\(nu_n\)) est convergente.

Aide simple

Utiliser la série de terme général \(v_n=n(u_{n-1}-u_n)\).

Solution détaillée

Par hypothèse la série de terme général \(v_n=n(u_{n- 1}-u_n)\) est à termes positifs. Elle est donc convergente si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. Or, pour tout \(m\geq 1\):

\(\begin{array}{ccccc}\displaystyle{\sum_{n=1}^m}v_n&=&\displaystyle{\sum_{n=1}^m}[(n-1)u_{n-1}+u_{n-1}-nu_n]&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}ku_k+\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}u_k-\displaystyle{\sum_{n=1}^m}nu_n\\&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}u_k-mu_m\leq\displaystyle{\sum_{n\geq 0}}u_n&\end{array}\).

La série de terme général \(v_n\) est donc convergente, on en déduit que

\(mu_m=\displaystyle{\sum_{n=0}^{m-1}}u_n-\displaystyle{\sum_{n=1}^m}v_n\)

a une limite quand \(m\) tend vers l'infini.

Question

Montrer que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}nu_n=0\)

Solution détaillée

Soit \(K\) cette limite. Supposons \(K\) non nul. Alors la suite (\(nu_n\)) ayant une limite \(K\) strictement positive, on a \(u_n \sim \frac{K}{n}\). La série de terme général \(u_n\) est alors divergente contrairement à l'hypothèse.

Donc on a \(K=0\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}nu_n=0\).