Exercice 1
Partie
On considère une suite décroissante (\(u_n\)) à termes positifs telle que la série \(\sum u_n\) soit convergente.
Question
Montrer que la suite (\(nu_n\)) est convergente.
Aide simple
Utiliser la série de terme général \(v_n=n(u_{n-1}-u_n)\).
Solution détaillée
Par hypothèse la série de terme général \(v_n=n(u_{n- 1}-u_n)\) est à termes positifs. Elle est donc convergente si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. Or, pour tout \(m\geq 1\):
\(\begin{array}{ccccc}\displaystyle{\sum_{n=1}^m}v_n&=&\displaystyle{\sum_{n=1}^m}[(n-1)u_{n-1}+u_{n-1}-nu_n]&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}ku_k+\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}u_k-\displaystyle{\sum_{n=1}^m}nu_n\\&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}}u_k-mu_m\leq\displaystyle{\sum_{n\geq 0}}u_n&\end{array}\).
La série de terme général \(v_n\) est donc convergente, on en déduit que
\(mu_m=\displaystyle{\sum_{n=0}^{m-1}}u_n-\displaystyle{\sum_{n=1}^m}v_n\)
a une limite quand \(m\) tend vers l'infini.
Question
Montrer que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}nu_n=0\)
Solution détaillée
Soit \(K\) cette limite. Supposons \(K\) non nul. Alors la suite (\(nu_n\)) ayant une limite \(K\) strictement positive, on a \(u_n \sim \frac{K}{n}\). La série de terme général \(u_n\) est alors divergente contrairement à l'hypothèse.
Donc on a \(K=0\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}nu_n=0\).