Exercice 3
Partie
On considère une suite\( (u_n)\) dont tous les termes sont positifs et on définit la suite \((v_n)\) par \(v_n=2^nu_{2^n}\)
Application : où l'on retrouve de vieilles connaissances.
Si \(k\) est un réel positif, retrouver la nature des séries de terme général
\(a_n=\frac{1}{n^k}\), \(b_n=\frac{1}{n\ln^kn}\),\(n\geq 2\).
Question
Montrer que si la suite \((u_n)\) est décroissante, les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.
Aide simple
Encadrer \(v_n\).
Solution détaillée
Puisque la suite \((u_n)\) est décroissante, on a, pour tout \(n\geq 1\):
\(u_{2^{n-1}}\geq u_{2^{n-1}+1}\geq\ldots\geq u_{2^n}\).
D'où l'on déduit, :
la majoration, pour tout \(n\geq 1\) : \(\frac12 v_n=2^{n-1}u_{2^n}\leq u_{2^{n-1}+1}+\ldots+u_{2^n}\). On en déduit la majoration \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n}v_k\leq 2\displaystyle{\sum_{k=2}^{2^n}}u_k\). Si la série de terme général \(u_n\) est convergente de somme \(S\), on en déduit que : \(\forall n\geq 1\), \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n}\leq 2S\). Ce qui implique que \(\sum v_n\) converge.
la minoration \(v_{n-1}=2^{n-1}u_{2^{n-1}}\geq u_{2^{n-1}+1}+\ldots+u_{2^n}\). On en déduit la minoration \(\displaystyle{\sum_{k=2}^n}v_k\geq 2\displaystyle{\sum_{k=2}^{2^{n-1}}}u_k\). Si la série de terme général \(u_n\) est divergente, ses sommes partielles ne sont pas bornées, donc celles de la série de terme général \(v_n\) ne le sont pas et la série \(\sum v_n\) diverge.
Variante plus détaillée
Introduisons les sommes partielles
\(s_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}u_k\), \(\sigma_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}v_k\).
Alors, pour tout \(n\geq 1\):
\(s_{2^{n-1}}\leq \sigma_n\leq 2s_{2^n}\)
D'où la conclusion.
Question
Trouver des exemples où
\(\sum u_n\) est convergente et \(\sum v_n\) divergente ;
\(\sum u_n\) est divergente et \(\sum v_n\) convergente.
Aide simple
Utiliser des séries lacunaires (avec des termes nuls)
Solution détaillée
Définissons la suite \((u_n)\) par :
s'il existe un entier m tel que \(n=2^m\), \(u_{2^m}=2^{-m}\);
si \(n\neq 2\) pour tout entier \(m\), \(u_n=0\).
Désignons par \((s_n)\) et \((r_n)\) les suites des sommes partielles associées aux séries de termes généraux respectifs \(u_n\) et \(\frac{1}{2^n}\) \((n\geq 0)\).
Soit \(n\geq 1\). Il existe un unique entier naturel \(m\) tel que : \(2^m\leq n<2^{m+1}\) \((m=[\log_{10}n])\). Alors :
\(s_n=s_{2m}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{2^m}}u_k=\displaystyle{\sum_{p=0}^m}u_{2^0}=\displaystyle{\sum_{p=0}^m}\frac{1}{2^p}=r_m\leq \displaystyle{\sum_{k\geq 0}}\frac{1}{2^k}=2\).
D'où : \(\forall n\geq 1, s_n\leq2\).
La suite \((s_n)\) étant croissante (car \(\forall n\geq 1, u_n\geq0\)) et majorée, elle est donc convergente.
On a cependant : \(\forall n\geq1, v_n=1\). Par conséquent, la série de terme général \(v_n\) diverge.
On prend une série \(\sum v_n\) convergente. Les termes \(u_{2^m}\) sont alors définis par \(u_{2^m}=2^{-m}v_{2^m}\) et si \(n\) n'est pas une puissance de 2, on prend par exemple \(u_n=2\), le terme général ne tend pas vers 0 et la série de terme général \(u_n\) est divergente.