Exercice 4
Partie
On considère la fonction définie sur R par
\(f: x\mapsto \frac{1}{1+x^4\sin^2x}\)
Question
Montrer que la fonction \(f\) n'a pas de limite en \(+\infty\).
Aide simple
Trouver deux suites \((x_n)\) et \((y_n)\) tendant vers \(+\infty\) telles que les suites \((f(x_n))\) et \((f(y_n))\) n'aient pas la même limite.
Solution détaillée
Pour \(n\) entier positif, posons \(x_n=n\pi\) et \(y_n=\frac{\pi}{2}+n\pi\). On a \(f(x_n)=1\) et \(f(y_n)=\frac{1}{1+\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^4}\sim\frac{1}{n^4\pi^4}\)
Ainsi \(f(x_n)\) tend vers 1 et \(f(y_n)\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers l'infini. Donc \(f(x_n)\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Question
Montrer que l'intégrale \(\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^4\sin^2t}dt\) est convergente.
Aide simple
Montrer que l'intégrale est de même nature que la série de terme général
\(v_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{1}{1+t^4\sin^2t}dt\)
Puis montrer que l'on a pour tout \(n\) :
\(0<v_n\leq\int_0^\pi\frac{1}{1+n^4\pi^4\sin^2t}dt\)
Solution détaillée
Comme la fonction \(f\) est positive, l'intégrale (impropre) est de même nature que la série \(\sum v_n\) avec \(v_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{1}{1+t^4\sin^2t}dt\).
Soit \(n\geq 0\). Pour tout \(t\) vérifiant \(n\pi\leq t\leq(n+1)\pi\), on a
\(\frac{1}{1+(n+1)^4\pi^4\sin^2t}\leq \frac{1}{1+t^4\sin^2t}\leq\frac{1}{1+n^4\pi^4\sin^2t}\).
Remarque :
La série étant à termes positifs, on cherche à majorer le terme général par celui d'une série à termes positifs convergente. Nous nous intéressons donc à l'inégalité de droite.
On en déduit, pour tout \(n\geq 0\):
\(v_n\leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{1}{1+n^4\pi^4\sin^2t}dt=\int_0^\pi\frac{1}{1+n^4\pi^4\sin^2u}du\)
(en faisant le changement de variable \(t=n\pi+u\)).
Pour \(a\) réel positif on étudie alors :
\(I(a)=\int_0^\pi\frac{dt}{1+a^2\sin^2t}\)
On a envie de calculer cette intégrale avec le changement de variable \(u=\tan t\), mais il y a un problème en \(\frac\pi2\).
On résout ce problème en restreignant l'intervalle d'intégration grâce à la relation \(\sin(\pi-t)=\sin t)\):
\(I(a)=\int_0^\pi\frac{dt}{1+a^2\sin^2t}=\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{1+a^2\sin^2t}+\int_{\pi/2}^\pi\frac{dt}{1+a^2\sin^2t}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{1+a^2\sin^2t}\).
On peut alors faire le changement de variable \(u=\tan t\) qui donne
\(\sin^2t=\frac{u^2}{1+u^2}\),\(dt=\frac{du}{1+u^2}\),
d'où
\(\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{1+a^2\sin^2t}=\int_0^{+\infty}\frac{du}{(1+u^2)\left(1+\frac{a^2u^2}{1+u^2}\right)}=\int_0^{+\infty}\frac{du}{1+(1+a^2)u^2}=\left[\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\arctan u\sqrt{1+a^2}\right]_0^{+\infty}=\frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}}\)
Pour être parfaitement rigoureux, on peut prendre l'intégrale sur \([0,x]\) et passer à la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
On a alors, pour tout \(n\geq 1\):
\(0<v_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{1+n^4\pi^4}}<\frac{\pi}{n^2\pi^2}\)
Donc \(v_n\) est majoré par le terme général d'une série convergente et l'intégrale est convergente.