Exercice 2
Partie
Question
On note \(p(n)\) le nombre de chiffres avec lesquels l'entier naturel n s'écrit en base 10.
Par exemple \(p(122)=3\).
Étudier la nature de la série de terme général \(u_n=\frac{1}{na^{p(n)}}\), \(n\geq 1\)
en fonction du réel strictement positif \(a\).
Aide simple
Comparer \(p(n)\) et \(log_{10}n\) le logarithme de \(n\) en base 10.
On rappelle que :
\(\forall n\geq 1\),\(\log_{10}n=\frac{\ln n}{\ln 10}\)
Solution détaillée
Cas \(a\leq 1\). On a \(u_n=\frac{1}{na^{p(n)}}\geq\frac1n\), le terme général de la série est minoré par \(\frac1n\). La série diverge.
Si \(a >1\) :
Montrons l'égalité \(p(n) = [log_{10} n] + 1\). En effet \(p(n)=k\) est équivalent à \(10^k\leq n\leq 10^{k+1}\), ce qui en prenant le logarithme donne \(k\leq log_{10}n<k+1\).
On en déduit, puisque \(a < 1\),
\(u_n=\frac{1}{na^{p(n)}}\leq\frac{1}{na^{log_{10}n}}=\frac{1}{ne^{\frac{\ln n}{\ln 10}\ln a}}=\frac{1}{nn^{\frac{\ln a}{\ln 10}}}\)
Si \(a > 1\),\( ln a > 0\), et le terme général de la série est majoré par \(\frac{1}{n^b}\) avec \(b >1\) donc la série est convergente.
En résumé, la série est convergente si \(a > 1\) et divergente sinon.