Introduction
Les séries entières ont une grande importance car elles sont à la base de la théorie des fonctions analytiques (que vous étudierez ultérieurement). De façon générale, le domaine d'étude des fonctions analytiques est celui des fonctions de variable complexe.
Une série entière est une série de fonctions \(\sum{f_n}\) où, pour tout entier \(n\), \(f_n : C \rightarrow C\) \(z\mapsto a_nz^n\), (\(a_n\in C\)).
Dans ce chapitre on aborde les problèmes suivants :
Une série entière \(\sum a_nz^n\) étant donnée, on cherche à déterminer les valeurs de \(z\) pour lesquelles la série \(\sum a_nz^n\) est convergente, ce qui permet de définir une fonction.
Remarque :
L'ensemble \(\{z\in C; \textrm{la série}\sum{a_nz^n}\textrm{est convergente}\}\) n'est pas vide car il contient toujours 0. Sur cet ensemble, on définit la fonction somme de la série entière, c'est-à-dire la fonction \(z\mapsto\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}a_nz^n\), dont on étudie les propriétés.
Réciproquement, étant donné une fonction, peut-on la considérer comme la somme d'une série entière ? Cette série est-elle alors unique ?
On donnera une réponse partielle, seulement dans le cas d'une fonction de \(R\) dans \(R\), car on fait intervenir la notion de dérivée que nous n'avons pas introduite pour les fonctions de variable complexe.