Définitions et théorèmes généraux

a. La série \(\sum z^n\) est convergente, si et seulement si \(z\) appartient au disque unité ouvert, soit \(D(0,1)=\{z\in C,|z|< 1\}\).

Série entière \(\sum z^n\)

On considère la suite \((a_n)\) définie par : \(\forall n \in N, a_n=1\).

Comme on l'a vu dans le cours sur les séries numériques, la série \(\sum z^n\) est convergente, si et seulement si \(z\) appartient au disque unité ouvert, soit \(D(0,1)=\{z\in C, |z|< 1\}\). On a, pour tout : \(z\in D(0,1): \displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}z^n=\frac{1}{1-z}\).

On remarque que la fonction \(z\mapsto \frac{1}{1-z}\) est définie dans C \ {1}, mais n'est égale à la somme de la série \(\sum z^n\) que dans le disque unité ouvert.

b. La série \(\sum n^nz^n\) n'est convergente qu'à l'origine.

Série entière \(\sum n^nz^n\)

On considère la suite \((a_n)\) définie par : \(\forall n\geq 1, a_n= n^n\). La série \(\sum n^nz^n\) n'est convergente qu'à l'origine. En effet, pour \(z_0\in C^*\), il existe un rang \(N\) tel que \(N|z_0|>1\). On a, pour tout \(n\geq N\), \(n|z_0|> 1\), le terme général ne tend pas vers 0, et la série \(\sum n^nz_0^n\) est divergente.

c. La série \(\sum \frac{z^n}{n^n}\) est convergente pour tout \(z\) appartenant à \(C\).

Série entière\(\sum \frac{z^n}{n^n}\)

On considère la suite \((a_n)=\displaystyle{\left(\frac{1}{n^n}\right)_{n\geq 1}}\). La série \(\sum \frac{z^n}{n^n}\) est convergente pour tout \(z\) appartenant à \(C\). En effet, soit \(k\) un réel vérifiant \(0 < k < 1\). Pour \(z_0\in C\), il existe un rang \(N\) tel qu'on ait : \(\frac{|z_0|}{N}<k<1\), et pour \(n\geq N\), \(\frac{|z_0|}{n}<k<1\). Le terme général est donc majoré par \(k^n(n\geq N)\) et la série \(\sum \frac{z_0^n}{n^n}\) est convergente.