Opérations sur les séries entières
À partir des opérations sur les séries, on définit :
la somme de deux séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum b_nz^n\)
\(\sum a_nz^n+\sum b_nz^n=\sum(a_n+b_n)z^n\),
le produit d'une série entière \(\sum a_nz^n\) par un scalaire \(\lambda \in C\)
\(\lambda \sum a_nz^n=\sum(\lambda a_n)z^n\),
le produit de deux séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum b_nz^n\),
\(\left(\sum a_nz^n\right)\left(\sum b_nz^n\right)=\sum c_nz^n\) avec \(\forall n \geq 0\), \(c_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}a_kb_{n-k}\)
Remarque : Un peu d'algèbre
On remarque que la définition des opérations sur les séries entières à partir des fonctions ne fait intervenir que les suites des coefficients et que si on se limite à des suites finies les opérations définies sont celles de l'espace vectoriel et de l'anneau des polynômes.
On peut, d'un point de vue algébrique, associer à une suite \((a_n)\) de nombres complexes une série formelle notée \(\sum a_nX^n\). L'ensemble des séries formelles muni des opérations définies ci-dessus est un espace vectoriel sur \(C\) et un anneau dont l'ensemble des polynômes à coefficients complexes \(C[X]\) est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau. On note \(C[[X]]\) l'ensemble des séries formelles à coefficients complexes (cf. cours d'algèbre).