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Définition d'une série entière
Définition

Une série entière est une série de fonctions où, pour tout entier , est de la forme : , ( ).

Une série entière est donc une série de fonctions puissances (power series en anglais) et la suite des fonctions sommes partielles associées est une suite de fonctions polynomiales :

.

Les nombres sont les coefficients de la série entière. Une série entière est entièrement déterminée par la donnée de la suite de ses coefficients.

Règle : Notation

On note ( quand la suite des coefficients est définie pour ). Ce symbolisme est ambigu, car il désigne à la fois :

  • la série entière c'est-à-dire la série de fonctions,

  • pour fixé, la série numérique à termes complexes

On distinguera série de fonctions et série à termes complexes en parlant dans le premier cas de la série entière , et dans le second de la série .

Règle : Notation : disque ouvert, fermé, cercle

On notera, pour un réel : :

le disque ouvert défini par :

le disque fermé défini par :

le cercle défini par :

Légende :
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