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Continuité de la somme d'une série entière
Théorème

Soit une série entière de rayon de convergence non nul. La somme de la série entière, définie dans le disque de convergence par , est continue dans tout le disque de convergence.

Preuve

La série entière converge uniformément dans tout disque fermé avec . Donc si est un point quelconque du disque , il vérifie et il existe donc un réel vérifiant . Alors le point appartient au disque fermé et la fonction est continue en .

Remarque : fondamentale

Il y a convergence uniforme de la série entière dans tout disque avec et, en général, pas dans le disque de convergence , mais la somme de la série entière est continue dans tout le disque de convergence .

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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