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Dérivation et intégration terme à terme d'une série entière
Théorème

Soit une série entière de rayon de convergence non nul. Alors la série entière a même rayon de convergence .

Preuve

Soit le rayon de convergence de la série entière . Nous allons montrer successivement que les inégalités et sont impossibles.

Détail de la preuve :

Supposons .

Il existe alors tel que . La série est absolument convergente et les inégalités, pour tout entier non nul : entraînent la convergence absolue de la série . D'où la contradiction, on a donc .

Supposons .

Il existe alors un réel vérifiant et un point vérifiant .

L'inégalité entraîne que la suite est bornée. Il existe donc un réel , tel que, pour tout entier , on ait : .

On en déduit : . Le terme est le terme général d'une série convergente. D'après le théorème de comparaison, la série de terme général est convergente ainsi que la série de terme général . D'où la contradiction.

On a donc .

Dans la suite de ce paragraphe, on se limitera à des fonctions de variable réelle.

Théorème

Soit une série entière de rayon de convergence non nul. On note encore la restriction à l'intervalle de la somme de la série entière, c'est-à-dire la fonction définie sur par .

La fonction est dérivable sur et, pour tout de , .

Preuve

Compte tenu du théorème précédent, c'est l'application directe du théorème de dérivation des séries de fonctions.

Détail de la preuve :

D'après le théorème précédent, la série entière est uniformément convergente sur tout intervalle , avec et la série entière est simplement convergente sur l'intervalle . La fonction est donc dérivable sur l'intervalle et on a .

On déduit immédiatement le corollaire suivant.

Corollaire

La somme d'une série entière de rayon de convergence non nul est de classe sur l'intervalle et, pour tout entier , et tout de , on a :

.

Pour l'intégration terme à terme, on obtient le théorème suivant.

Théorème

Soit une série entière de rayon de convergence non nul. La somme de la série entière, c'est-à-dire la fonction définie sur par , admet pour primitives sur l'ensemble des fonctions , .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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