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Exemples
Exemple
  1. Dérivation terme à terme de la série géométrique dans l'intervalle .

    On considère la série géométrique dont le rayon de convergence est 1. On a donc dans le disque unité l'égalité , et dans l'intervalle , on a : (*).

    On en déduit donc, en dérivant terme à terme dans l'intervalle les deux membres de l'égalité précédente, .

    De façon générale, en dérivant fois l'égalité (*), on obtient : .

  2. Intégration terme à terme de dans l'intervalle .

    On a, pour tout dans l'intervalle , .

    En appliquant le théorème précédent, on obtient en intégrant terme à terme :

    , .

    La série entière est uniformément convergente sur tout intervalle avec vérifiant .

    Mais par ailleurs, pour fixé vérifiant , la série satisfait aux conditions du théorème des séries alternées.

    On a donc, en désignant par le reste d'ordre associé à cette série : .

    On en déduit que la série entière est uniformément convergente sur tout intervalle avec vérifiant .

    La fonction, somme de la série entière , c'est-à-dire la fonction ,

    est donc continue sur l'intervalle . On retrouve donc l'égalité :

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