Exemples
Exemple :
Dérivation terme à terme de la série géométrique \(\sum x^n\) dans l'intervalle \(]-1,1[\).
On considère la série géométrique \(\sum z^n\) dont le rayon de convergence est 1. On a donc dans le disque unité \(D(0,1)\) l'égalité \(\frac{1}{1-z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}z^n\), et dans l'intervalle \(]-1,1[\), on a : \(\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)(*).
On en déduit donc, en dérivant terme à terme dans l'intervalle \(]-1,1[\) les deux membres de l'égalité précédente, \(\frac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}\).
De façon générale, en dérivant \(p\) fois l'égalité (*), on obtient : \(\frac{p!}{(1-x)^{p+1}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+p)!}{n!}x^n\).
Intégration terme à terme de \(\frac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n\) dans l'intervalle \(]-1,1[\).
On a, pour tout \(x\) dans l'intervalle \(]-1,1[\), \(\frac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n\).
En appliquant le théorème précédent, on obtient en intégrant terme à terme :
\(\forall x\in ]-1,1[\), \(\ln(1+x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
La série entière \(\sum(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\) est uniformément convergente sur tout intervalle \([-\rho,\rho]\) avec \(\rho\) vérifiant \(0<\rho<1\).
Mais par ailleurs, pour \(x\) fixé vérifiant \(0\leq x\leq 1\), la série \(\sum(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\) satisfait aux conditions du théorème des séries alternées.
On a donc, en désignant par \(r_n\) le reste d'ordre \(n\) associé à cette série : \(\forall x\in [0,1], |r_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}\).
On en déduit que la série entière \(\sum(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\) est uniformément convergente sur tout intervalle \([-\rho, 1]\) avec \(\rho\) vérifiant \(0<\rho<1\).
La fonction, somme de la série entière \(\sum(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\), c'est-à-dire la fonction \(x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\),
est donc continue sur l'intervalle \(]-1,1[\). On retrouve donc l'égalité : \(\ln2=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\)