Introduction

Prérequis

  • Suites numériques ;

  • Suites géométriques ; sommes partielles d'une suite géométrique et limite.

Notations utilisées

On notera le plus souvent \(\underset{l}{\textrm{sup}}~\Big( f(x) \Big)\) pour \(\underset{x \in l}{\textrm{sup}}~\Big\{ f(x) \Big\}\).

\(\mathcal{F} \Big( E, F \Big)\) désigne l'ensemble des fonctions de \(E\) vers \(F\).

\(\underset{0}{\thicksim}\) désigne la fonction nulle.

Une suite de réels ou de complexes est une application \(u : \begin{array}{|c c l}\mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{R}~~\textrm{(ou}~\mathbb{C} \textrm{)} \\\mathrm{n} & \mapsto & u_{n}\\\end{array}\) et notée \((Un)_{n \in \mathbb{N}}\) ou plus simplement (\(Un\)) lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le domaine de définition.

Par analogie, on définira ainsi une suite de fonctions :

Suite de fonctions

On appelle suite de fonctions sur \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)), et on note (\(f_{n}\)), toute application \(n \mapsto f_{n}\) de \(\mathbb{N}\) (ou d'une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathcal{F} \Big( \mathbb{R}, \mathbb{R} \Big)\) ou \(\mathcal{F} \Big( \mathbb{R}, \mathbb{C} \Big)\) ou \(\mathcal{F} \Big( \mathbb{C}, \mathbb{C} \Big)\) .

Exemple 1. \(f_{n} :~\begin{array}{|l c l}\mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = \frac{2nx^{2}~-~1}{nx~+~x^{2}} \\\end{array}\)

Exemple 2. \(f_{n} :~\begin{array}{|l c l}\mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = \cos{(nx)} \\\end{array}\)

Exemple 3. \(f_{n} :~\begin{array}{|l c l}\mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = x^{n} \\\end{array}\)