Pour aller plus loin

Un résultat important : (revoir les fonctions continues sur un intervalle)

Théorème : Théorème de Heine

Si est continue sur un ensemble fermé borné de , alors est uniformément continue sur :

Ce théorème va permettre d'obtenir des résultats d'approximation uniforme d'une fonction continue définie sur un ensemble fermé borné de (par exemple un intervalle fermé borné ) :

  • par des fonctions en escaliers,

  • par des fonctions affines par morceaux,

  • par des fonctions polynômes (Théorème de Stone Weierstrass).

Rappelons quelques définitions :

Définition : Fonction en escalier

Une fonction définie sur un intervalle à valeurs dans ou ( ) est une fonction en escalier, s'il existe une subdivision de  :

telle que : ( ) la restriction de à est constante.

L'ensemble des fonctions en escalier sur se note ou .

Définition : Fonction affine par morceaux

Une fonction définie sur un intervalle à valeurs dans ou ( ) est une fonction affine par morceaux, s'il existe une subdivision de :

a_{0} = a < a_{1} < ... < a_{N} = b telle que : ( ) la restriction de à est une fonction affine.

L'ensemble des fonctions affines par morceaux sur se note ou .

Remarque

Selon les ouvrages, la définition d'une fonction affine par morceaux peut être légèrement différente, selon que l'on considère la restriction de à ou à .

Une fonction affine par morceaux est nécessairement continue : elle est continue sur chacun des intervalles , admet (sauf aux extrémités et ) une limite à droite et à gauche en qui sont égales à .

Les résultats précédents s'interprètent en disant que :

(respectivement ) est dense (pour la norme de la convergence uniforme) dans (respectivement ).

(respectivement ) est dense (pour la norme de la convergence uniforme) dans (respectivement ).

(respectivement ) est dense (pour la norme de la convergence uniforme) dans (respectivement ).

( ) désignant l'espace des fonctions polynômes définies sur à coefficients réels et l'espace des fonctions polynômes définies sur à coefficients complexes.

Montrons ce premier résultat :

Théorème

Densité de dans

Soit et deux réels tels que .

L'ensemble (respectivement ) est dense dans (respectivement ).

Une fonction continue sur est donc limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier sur .

Démonstration

est continue sur , donc est uniformément continue sur  :

Soit

Appliquons ce résultat en fixant \varepsilon = \frac{1}{n}. Soit \alpha_{n} le réel correspondant, on a ainsi :

Il existe un entier tel que .

Soit . Introduisons la subdivision de définie par :

Définissons la suite de fonctions en escalier ( ) sur par :

  • pour , la restriction de à est constante égale à

  • la restriction de à est constante, égale à .

est constante sur chacun des intervalles , donc est bien une fonction en escalier.

Montrons que la suite ( ) converge uniformément vers sur  : ,

d'après (5), on a donc :

Soit  :

soit tel que , soit  ;

dans tous les cas, d'après (6) :

OU

.

La suite ( ) tend vers 0, la suite ( ) converge donc uniformément vers sur l'intervalle .

Le résultat peut sembler surprenant : une fonction continue sur un segment est toujours limite uniforme sur ce segment de fonctions non continues.

Légende :
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