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Comment trouver une solution particulière d'un système X'(t) = AX(t) + B(t) par variation des constantes

Nous savons trouver une base de l'espace des solutions de l'équation homogène .

Nous allons chercher une solution de l'équation complète sous la forme :

où les fonctions sont à valeurs réelles.

En reportant dans l'équation de départ et en simplifiant, on trouve

Or on peut montrer que, pour fixé, les vecteurs forment une base de .

On peut donc écrire, pour chaque ,

En prenant pour une primitive de , on obtient la solution particulière cherchée.

Exemple

Soit à résoudre le système différentiel

Le système homogène associé

se résout selon la méthode indiquée dans les pages précédentes : une base de solutions est

Cherchons une solution particulière sous la forme

En reportant dans l'équation, on voit que les fonctions et doivent vérifier

En résolvant ce système linéaire (non différentiel) on calcule les valeurs de et

En en prenant des primitives, on trouve

La solution générale du système est finalement :

Légende :
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