Comment trouver une solution particulière d'un système X'(t) = AX(t) + B(t) par variation des constantes

Nous savons trouver une base \(X_1(t), ..., X_n(t)\) de l'espace des solutions de l'équation homogène \(X'(t) = AX(t)\).

Nous allons chercher une solution de l'équation complète \(X'(t) = AX(t) + B(t)\) sous la forme :

\(X(t)=\lambda_1(t)X_1(t)+...+\lambda_n(t)X_n(t)\)

où les fonctions \(\lambda_i(t)\) sont à valeurs réelles.

En reportant dans l'équation de départ et en simplifiant, on trouve

\(\lambda'_1(t)X_1(t)+...+ \lambda'_n(t)X_n(t)=B(t)\)

Or on peut montrer que, pour \(t\) fixé, les vecteurs \(X_1(t), ..., X_n(t)\) forment une base de \(R^n\).

On peut donc écrire, pour chaque \(t\),

\(B(t)=\mu_1(t)X_1(t)+...+\mu_n(t)X_n(t)\)

En prenant pour \(\lambda_i(t)\) une primitive de \(\mu_i(t)\), on obtient la solution particulière cherchée.

Exemple

Soit à résoudre le système différentiel

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-2x+y+\textrm{ch}t \\ y'=3y+\cos t\end{array}\right.}\)

Le système homogène associé

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x'=-2x+y \\ y'=3y\end{array}\right.}\)

se résout selon la méthode indiquée dans les pages précédentes : une base de solutions est

\(\displaystyle{X_1(t) = \left[\begin{array}{ll}\textrm{exp}(-2t) \\ 0\end{array}\right], X_2(t)=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{5}\textrm{exp}(3t) \\ \textrm{exp}(3t)\end{array}\right]}\)

Cherchons une solution particulière sous la forme

\(X(t)=\lambda_1(t)X_1(t)+\lambda_2(t)X_2(t)\)

En reportant dans l'équation, on voit que les fonctions \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) doivent vérifier

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}\lambda'_1\textrm{exp}(-2t)+\frac{1}{5}\lambda'_2\textrm{exp}(3t)=\textrm{ch}t \\ \lambda'_2\textrm{exp}(3t)=\cos t\end{array}\right.}\)

En résolvant ce système linéaire (non différentiel) on calcule les valeurs de \(\lambda'_1(t)\) et \(\lambda'_2(t)\)

En en prenant des primitives, on trouve

\(\lambda_2=\frac{\textrm{exp}(-3t)}{10}(\sin t-3\cos t)\)

\(\lambda_1=\frac{\textrm{exp}(3t)}{6}+\frac{\textrm{exp}t}{2}+\frac{\textrm{exp}(2t)}{25}(2\cos t+\sin t)\)

La solution générale du système est finalement :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=A\textrm{exp}(-2t)+B\frac{\textrm{exp}(3t)}{5}+\frac{\textrm{exp}t}{6}+\frac{\textrm{exp}(-t)}{2}+\frac{1}{50}(\cos t+3\sin t) \\ y(t)=B\textrm{exp}(3t)+\frac{1}{10}(\sin t-3\cos t)\end{array}\right.}\)