| Trouver une solution particulière d'un système X'(t) = AX(t) + B(t) par identification |
Lorsque toutes les composantes du second membre
du système
sont d'un type particulier, on peut souvent chercher une solution particulière dont les fonctions composantes sont du même type que ce second membre, puis ajuster les coefficients en reportant dans le système donné.
Cette méthode est parfois plus agréable à mettre en oeuvre que la méthode de variation des constantes
Plus précisément, si toutes les composantes de
sont le produit de polynômes
par une même fonction exponentielle
, on peut chercher chaque composante
de la solution sous la forme
. Si tous les
sont de degré inférieur ou égal à
, on cherchera chaque
de degré
(au plus).
Remarquons que la forme ci-dessus englobe le cas où toutes les composantes de
sont des polynômes (il suffit de prendre
), et le cas où toutes les composantes de
sont de la forme
(les polynômes
sont alors des constantes).
Soit à résoudre le système différentiel
Le système homogène associé
se résoud selon la méthode indiquée dans les pages précédentes : les solutions s'écrivent
Puisque les composantes du "second membre" sont
et
, à savoir le produit de
par des polynômes de degré inférieur ou égal à 1, cherchons une solution particulière sous la forme
En calculant
et
, puis en remplaçant dans le système initial et en identifiant, on obtient le système d'équations :
dont la solution est
Finalement, la solution générale du système donné est
