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Principe de linéarisation

Il s'agit dans cette page d'étudier le comportement des trajectoires, au voisinage des points stationnaires, d'un système

où les fonctions et admettent des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre 2.

Soit un point stationnaire, c'est-à-dire que l'on a .

Le point A est une trajectoire à lui tout seul (image de la solution constante). Nous nous intéressons ici aux trajectoires qui passent près du point A.

Posons

Le développement limité des fonctions f et g à l'ordre 1 au voisinage de s'écrit alors :

où les fonctions R et S s'annulent à l'origine ainsi que leurs dérivées premières, c'est à dire que les fonctions R et S sont des

Il est raisonnable de penser qu'au voisinage de A, les termes et sont négligeables devant les parties linéaires et , du moins si ces parties linéaires ne sont pas nulles.

On dit que le système (I) est approximé au voisinage du point stationnaire A par le système linéaire

le point stationnaire A étant ramené à l'origine par le changement de variable , .

Le système (II) s'écrit encore , où l'on a posé et

La matrice J se nomme matrice jacobienne du système en .

Le système (II) est le linéarisé du système (I) au voisinage du point stationnaire A.

Le principe ci-dessous n'est pas exprimé en termes mathématiques ; cela pourrait se faire, mais utiliserait des notions qui sortent du cadre de ce cours.

Principe de linéarisation :

Lorsque les valeurs propres de la matrice jacobienne d'un système différentiel en un point stationnaire A ne sont ni nulles, ni imaginaires pures, les trajectoires de ce système au voisinage de A se comportent comme les trajectoires de son linéarisé au voisinage de l'origine.

Ainsi par exemple, si le linéarisé est un foyer attractif (valeurs propres complexes de partie réelle négative), les trajectoires du système initial au voisinage de A tendent vers A en spiralant. On dit encore que A est un foyer attractif.

On parlera de même de col ou de noeud (attractif ou répulsif), même pour un système non linéaire, si le linéarisé correspondant présente à l'origine un col ou un noeud.

En revanche, si le linéarisé présente un centre à l'origine, ce qui se produit quand les valeurs propres sont imaginaires pures, les trajectoires du système non linéaires ne se comportent pas forcément comme celles du linéarisé. Parfois, des considération de symétrie permettent néanmoins de montrer qu'au voisinage d'un tel point critique, les trajectoires sont des courbes fermées qui l'entourent.

Exemple : considérons le système

Ce système modélise le comportement du mouvement d'un pendule à petit frottement. Les points stationnaires sont les points ,

avec n entier.

La matrice jacobienne au point est

Son polynôme caractéristique est r^2+r+(-1)^{n+1}

Si est pair, ses racines sont complexes de partie réelle négative; le point critique est un foyer attractif.

Si est impair, elles sont réelles de signes contraires ; le point critique est un col.

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