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Zoom au voisinage des points stationnaires

Cette page cherche à illustrer à quel point, au voisinage des points stationnaires d'un système différentiel autonome, le portrait de phase du système et celui de son linéarisé se ressemblent.

Considérons le système différentiel en dimension 2 :

Ce système admet une infinité de points stationnaires.

Intéressons-nous aux trois points

C'est un bon exercice de vérifier que A, B et C sont des points stationnaires , et que les linéarisés au voisinage de ces points sont respectivement :

pour A :

pour B :

et pour C :

On vérifie aisément que le premier système est un col, le second un foyer et le troisième un nœud.

Sur la figure ci-dessous, vous voyez, sur la partie du haut, le portrait de phase du système (I) dans la fenêtre .

Si vous cliquez sur un des boutons du bas (col A, foyer B ou nœud C), vous voyez apparaître :

  • Dans le cadre en bas à gauche, le portrait de phase du système (I) au voisinage de ce point (la fenêtre est le rectangle vert de la figure du haut).

  • Dans le cadre en bas à droite, le portrait de phase du linéarisé en ce point.

A première vue les deux dessins du bas sont très similaires ; ils se ressemblent d'autant plus qu'on est près du point stationnaire. Effectivement l'approximation du système par son linéarisé en ce point est d'autant meilleure qu'on est près de ce point.

En regardant mieux les zones éloignées de ces points stationnaires, on constate une différence entre le système et son linéarisé.

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Légende :
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