Densité volumique variable

Durée : 5 mn

Note maximale : 10

Question

Un cylindre de rayon \(R\) et de hauteur \(h\) contient une distribution de charges non uniforme à symétrie radiale. Suivant un rayon \(r\), la densité volumique de charge varie suivant la loi : \(\rho=\rho_0\frac{\mathrm e^{-kr}}r\)

( \(r\) distance à l'axe à un point quelconque du cylindre )

Exprimer en fonction de \(k, R\) et \(h\) la charge \(Q\) totale contenue dans le cylindre.

Solution

\(\rho=\frac{dq}{dx}=\rho_0\frac{\mathrm e^{-kr}}r\)

Tous les éléments de volume appartenant à un anneau cylindrique contiennent la même densité volumique de charge \(\rho\).

Pour cet anneau : \(dq = \rho dv = \rho .2.\pi .r.h.dr.\)

\(Q=\displaystyle{\int dq=\int_{\textrm{volume}}\rho dv=\int_0^R\rho2\pi rhdr}\)

Pour le cylindre :

\(Q=\displaystyle{\int_0^R\rho_0\frac{\mathrm e^{-kr}}r2\pi rhdr=\rho_02\pi h\int_0^R\mathrm e^{-kr}dr=\rho_0\frac{2\pi h}k\left(1-\mathrm e^{-kR}\right)}\)

Evaluation :

  • \(\rho dv = \rho.2.\pi .r.h.dr\) : 3 pts

  • résultat final : 7 pts.