Invariances : spire circulaire
Partie
Question
On considère une distribution \(\mathcal{D}\), constituée par une spire circulaire parcourue par un courant d'intensité \(I\).
\(\mathcal{D}\) est observée depuis le point \(M\), repéré par ses coordonnées cylindriques \(\rho\), \(\phi\) et \(z\).
Déterminer les déplacements de la distribution qui laissent le système \(\textrm{distribution de courant - point d'observation}\) \((\mathcal{D}, M)\) invariant.
En déduire les coordonnées cylindriques dont dépend le champ magnétostatique \(\vec B\) créé par \(\mathcal{D}\) en \(M\).
Aide simple
Les déplacements de \(\mathcal{D}\) envisageables dans le repère cylindrique proposé ici sont :
les 2 translations suivant les coordonnées linéaires \(\rho\) et \(z\),
la rotation suivant la coordonnée angulaire \(\phi\) autour de l'axe \(Oz\).
Solution détaillée
Le système \(\textrm{distribution de courant - point d'observation}\) \((\mathcal{D}, M)\) reste inchangé lors de toute rotation de \(\mathcal{D}\) autour de l'axe \(Oz\) (rotation d'angle \(\phi\)). Le champ \(\vec B\) créé par la distribution \(\mathcal{D}\) en \(M\) ne dépend donc pas de \(\phi\).
Notons que si :
on translate \(\mathcal{D}\) verticalement le long de l'axe \(Oz\),
ou si on éloigne \(\mathcal{D}\) du point d'observation \(M\) en opérant une translation suivant \(\rho\),
alors le système \((\mathcal{D}, M)\) se trouve modifié. Le champ \(\vec B\) créé par la distribution \(\mathcal{D}\) en \(M\) dépend donc de \(z\) et de \(\rho\), soit :
\(\vec B(M) = \vec B(z, \rho)\)
Remarque :
En général, soient \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) les coordonnées d'un point dans un système de repérage quelconque.
- Si \(a_i\) est une coordonnée axiale ou linéaire (mesurée en distance), alors un déplacement qui modifie \(a_i\) sans modifier les autres coordonnées, est une translation.
- Si \(a_i\) est une coordonnée polaire ou angulaire (mesurée par un angle), alors un déplacement qui modifie \(a_i\) sans modifier les autres coordonnées, est une rotation.