Invariances : ruban conducteur infini

Partie

Question

On considère une distribution \(\mathcal{D}\), constituée d'un ruban conducteur plan de largeur \(l\) et de longueur infinie, parcouru par un courant d'intensité \(I\).

\(\mathcal{D}\) est observée depuis le point \(M\), repéré par ses coordonnées cartésiennes \(x\), \(y\) et \(z\).

Déterminer les déplacements de la distribution qui laissent le système \(\textrm{distribution de courant - point d'observation}\) \((\mathcal{D}, M)\) invariant.

En déduire les coordonnées cartésiennes dont dépend le champ magnétostatique \(\vec B\) créé par \(\mathcal{D}\) en \(M\).

Aide simple

Les déplacements de \(\mathcal{D}\) envisageables dans le repère cartésien proposé ici sont les translations suivant les directions de \(x\), \(y\) et \(z\).

Solution détaillée
  • Le système \(\textrm{distribution de courant - point d'observation}\) \((\mathcal{D}, M)\) reste inchangé lors de toute translation de \(\mathcal{D}\) le long de l'axe \(Oy\). Le champ \(\vec B\) créé par la distribution \(\mathcal{D}\) en \(M\) ne dépend donc pas de \(y\).

  • Notons que si :

    • on translate \(\mathcal{D}\) le long de l'axe \(Oz\),

    • ou si on translate \(\mathcal{D}\) le long de l'axe \(Ox\),

    alors le système \((\mathcal{D}, M)\) se trouve modifié. Le champ \(\vec B\) créé par la distribution \(\mathcal{D}\) en \(M\) dépend donc de \(z\) et de \(x\), soit :

    \(\vec B(M) = \vec B(x, z)\)

Remarque :

En général, soient \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) les coordonnées d'un point dans un système de repérage quelconque.

- Si \(a_i\) est une coordonnée axiale ou linéaire (mesurée en distance), alors un déplacement qui modifie \(a_i\) sans modifier les autres coordonnées, est une translation.

- Si \(a_i\) est une coordonnée polaire ou angulaire (mesurée par un angle), alors un déplacement qui modifie \(a_i\) sans modifier les autres coordonnées, est une rotation.