Lignes de champ : forme et orientation

Un courant continu, d'intensité \(\mathsf{I}\), circule dans un conducteur rectiligne, filiforme que l'on suppose infiniment long[1]. Ce fil est confondu avec l'axe \(Oz\) d'un repère orthonormé direct \(\mathfrak R = (O ; xyz)\).

Il s'agit de déterminer le champ magnétostatique \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) créé en tout point \(\mathsf{M}\) de l'espace par cette distribution de courant \((\mathfrak{D})\).

Dans un premier temps, le problème consiste à définir l'orientation du champ magnétostatique \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) magnétostatique en tout point \(\mathsf{M}\) de l'espace et d'en déduire la forme des lignes de champ[2] correspondantes.

Compte tenu de la forme de la distribution \((\mathfrak{D})\), il convient d'expliciter \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) dans la base cylindrique locale \(\mathfrak{B} = (\vec e_{\rho}, \vec e_{\phi}, \vec e_z)\).

Utilisation des symétries[3] de la distribution \((\mathfrak{D})\)

  • L'utilisation des symétries permet, préalablement à tout calcul, de déterminer la direction de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) en tout point \(\mathsf{M}\).

    \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) étant un pseudo-vecteur[4], il est donc perpendiculaire à tout plan de symétrie positive de la distribution qui le crée. Déterminons l'un de ces plans.

    • Le plan qui contient \((\mathfrak{D})\) et le point \(\mathsf{M}\) considéré est un plan de symétrie positive car dans une symétrie par rapport à ce plan, \((\mathfrak{D})\) est sa propre image, à la fois géométrique et électrique, le sens du courant étant conservé. \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) est donc orthogonal en \(\mathsf{M}\) à ce plan.

      On peut écrire \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = B_{\phi}(M) \vec e_{\phi}\) et \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) est donc orthoradial.

    • A ce stade, il convient de garder présent à l'esprit que, lorsqu'on utilise la notation \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) , cela signifie que le champ magnétostatique, défini en un point \(\mathsf{M}\) quelconque, est fonction des coordonnées de ce point, c'est-à-dire ici, de \(\rho\), \(\phi\) et \(z\).

      On peut donc écrire : \(\vec B(M) = B_{\phi}(\rho, \phi , z) \vec e_{\phi}\)

Utilisation des invariances

  • Elles permettent de déterminer de quelle(s) variable(s) dépend \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\).

    • Une rotation de la distribution \(\mathfrak{D}\) autour de l'axe \(Oz\) laisse le système invariant : le champ magnétique \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) ne dépend donc pas de la variable \(\phi\).

      Ainsi : \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = B_{\phi}(\rho,z)\vec e_{\phi}\)

    • Cette distribution étant infinie, une translation suivant l'axe \(Oz\) laisse le système invariant.

      On a donc : \(\vec B(M) = B_{\phi}(\rho)\vec e_{\phi}\)

    • Cette relation donne la forme des lignes de champ : ce sont des cercles d'axe \(Oz\) en tous points desquels \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) est tangent.

      Les lignes de champ de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) sont fermées.

  • Le sens des lignes de champ est donné par la loi de Biot[5] et Savart[6] c'est-à-dire par le produit vectoriel[7] \(I\overrightarrow{\mathrm{d}l} \wedge \overrightarrow{PM}\) ; ici \(\vec B(M)\) a le sens de \(\vec e_{\phi}\).

  • On remarque ici que, sur chaque ligne de champ, le module de \(\vec B(M)\) est constant puisqu'il ne dépend que de \(\rho\).