Physique
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Lignes de champ : forme et orientation

Un courant continu, d'intensité , circule dans un conducteur rectiligne, filiforme que l'on suppose infiniment long. Ce fil est confondu avec l'axe d'un repère orthonormé direct .

Il s'agit de déterminer le champ magnétostatique créé en tout point de l'espace par cette distribution de courant .

Dans un premier temps, le problème consiste à définir l'orientation du champ magnétostatique magnétostatique en tout point de l'espace et d'en déduire la forme des lignes de champ correspondantes.

Compte tenu de la forme de la distribution , il convient d'expliciter dans la base cylindrique locale .

Utilisation des symétries de la distribution

  • L'utilisation des symétries permet, préalablement à tout calcul, de déterminer la direction de en tout point .

    étant un pseudo-vecteur, il est donc perpendiculaire à tout plan de symétrie positive de la distribution qui le crée. Déterminons l'un de ces plans.

    • Le plan qui contient et le point considéré est un plan de symétrie positive car dans une symétrie par rapport à ce plan, est sa propre image, à la fois géométrique et électrique, le sens du courant étant conservé. est donc orthogonal en à ce plan.

      On peut écrire et est donc orthoradial.

    • A ce stade, il convient de garder présent à l'esprit que, lorsqu'on utilise la notation , cela signifie que le champ magnétostatique, défini en un point quelconque, est fonction des coordonnées de ce point, c'est-à-dire ici, de , et .

      On peut donc écrire :

Utilisation des invariances

  • Elles permettent de déterminer de quelle(s) variable(s) dépend .

    • Une rotation de la distribution autour de l'axe laisse le système invariant : le champ magnétique ne dépend donc pas de la variable .

      Ainsi :

    • Cette distribution étant infinie, une translation suivant l'axe laisse le système invariant.

      On a donc :

    • Cette relation donne la forme des lignes de champ : ce sont des cercles d'axe en tous points desquels est tangent.

      Les lignes de champ de sont fermées.

  • Le sens des lignes de champ est donné par la loi de Biot et Savart c'est-à-dire par le produit vectoriel ; ici a le sens de .

  • On remarque ici que, sur chaque ligne de champ, le module de est constant puisqu'il ne dépend que de .

Légende :
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