Circulation du champ magnétostatique créé par un courant filiforme, rectiligne et infiniment long sur un contour fermé

Considérons la distribution de courant \(\mathfrak{(D)}\) constituée par un conducteur rectiligne, filiforme, supposé infiniment long[1] et parcouru par un courant continu, d'intensité \(\mathsf{I}\).

Ce fil est confondu avec l'axe \(Oz\) d'un repère orthonormé direct \(\mathfrak{R} = (O ; xyz)\) et \(\mathsf{I}\) circule dans le sens des \(z\) positifs.

  • Ce que nous savons déjà

    • Le champ magnétostatique \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) créé en tout point \(\mathsf M\) de l'espace par cette distribution de courant \(\mathfrak{(D)}\) est orthoradial et a pour expression \(\vec B(M) = \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec e_{\varphi}\).

    • Les lignes de champ sont fermées. Ici, ce sont des cercles d'axe \(Oz\) en tous points desquels \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) est tangent et sur lesquels \(\mathsf B\) garde la même valeur ; ce n'est pas le cas général.

  • Circulation[2] de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) sur un contour fermé \(\textcircled{C}\) constitué par une ligne de champ.

    La circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) sur une ligne de champ de rayon \(\rho = OM\) s'écrit :

    \(\displaystyle{ \oint_{\textcircled{C}}\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M).\overrightarrow{\mathrm{d}l}(M) = \oint_{\textcircled{C}} \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec e_{\varphi} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \oint_{\textcircled{C}} \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathrm{d}l_{\varphi} =\oint_{\textcircled{C}} \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\rho \mathrm{d}_{\varphi} = \frac{\mu_0I}{2\pi}\oint_{\textcircled{C}}{\mathrm{d}_{\varphi}}}\)

    Noter qu'on distingue deux cas, suivant que la circulation sur \(\textcircled{C}\) qui est un cercle, s'effectue dans le sens direct[3] ou dans le sens inverse[4]. En effet, le sens de circulation impose l'orientation du disque délimité par le contour fermé orienté \(\textcircled{C}\) (voir surface ouverte[5]).

  • Si la circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) s'effectue dans le sens direct :

    \(\displaystyle{\frac{\mu_0I}{2\pi} \oint_{\textcircled{C}}\mathrm{d}\varphi = \frac{\mu_0I}{2\pi}\int^{2\pi}_{0}\mathrm{d}\varphi = \mu_0I}\)

    On remarque que le courant d'intensité I qui circule dans le conducteur traverse la surface ouverte[5] du disque délimité par le contour fermé orienté \(\textcircled{C}\) dans le même sens que celui du vecteur unitaire \(\vec e_{N} =  \vec e_{z}\) orthogonal au plan du disque.

  • Si la circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) s'effectue dans le sens inverse :

    \(\displaystyle{\frac{\mu_0I}{2\pi} \oint_{\textcircled{C}}\mathrm{d}\varphi = \frac{\mu_0I}{2\pi} \int^{0}_{2\pi}\mathrm{d}\varphi = -\mu_0I}\)

    On remarque alors que le courant d'intensité \(\mathsf{I}\) qui circule dans le conducteur traverse le disque délimité par le contour fermé orienté \(\textcircled{C}\) dans le sens opposé à celui du vecteur unitaire \(\vec e_{N} = -\vec e_z\) orthogonal au plan du disque.

  • Circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) sur un contour fermé \(\textcircled{C}\) constitué par deux droites parallèles \(\mathsf{(D)}\) et \(\mathsf{(D^{'})}\), perpendiculaires au conducteur \(\mathfrak{D}\) et situées du même côté de \(Oz\), dans le plan \(xOy\).

    Ces deux droites (infinies) que nous prenons parallèles à \(Oy\), forment un contour fermé si l'on circule sur \(\mathsf{(D)}\) dans le sens des \(\mathsf y\) croissants, en revenant sur \(\mathsf{(D')}\) dans le sens des \(\mathsf y\) décroissants.

    Alors, le vecteur unitaire \(\vec e_{N}\) orthogonal à la surface qui s'appuie sur le contour fermé \(\textcircled{C}\) qu'elles forment, est parallèle à \(\vec e_z\) .

  • Circulation sur \(\mathsf{(D)}\)

    Elle s'écrit : \(\displaystyle{\int_{\mathsf{(D)}}\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) . \overrightarrow{\mathrm{d}l}(M) = \int_{\mathsf{(D)}} \frac{\mu_0I}{2\pi OM}OM \mathrm{d}\varphi}\).

    Comme \(OM\mathrm{d}\varphi\) est difficile à expliciter sur \(\mathsf{(D)}\) , on préfère écrire ici :

    \(\displaystyle{\int_{\mathsf{(D)}}\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) . \overrightarrow{\mathrm{d}l}(M) = \int_{\mathsf{(D)}}\Big(\frac{\mu_0I}{2\pi OM}\vec e_{\varphi}\Big)\big(\mathrm{d}y \vec e_y\big) = \frac{\mu_0I}{2\pi}\int_{\mathsf{(D)}} \frac{\cos \varphi}{OM}\mathrm{d}y}\) .

    Lorsque \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) circule sur \(\mathsf{(D)}\), \(OM\), \(y\) et \(\varphi\) varient simultanément : ce sont des variables liées et il est pratiquement toujours plus aisé de conserver la variable angulaire.

    Ainsi avec \(HM = y = OH \tan\varphi\) , \(\mathrm{d}y = \frac{OH\mathrm{d}\varphi}{\cos^2\varphi}\) et \(OM = \frac{OH}{\cos\varphi}\)

    il vient : \(\int_{\mathsf{(D)}} \stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) . \overrightarrow{\mathrm{d}l}(M) = \frac{\mu_0I}{2\pi}\int^{+\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\varphi = \frac{\mu_0I}{2}\)

  • Circulation sur \(\mathsf{(D')}\)

    Compte-tenu du sens indiqué, on a :

    \(\int_{\mathsf{(D)}} \stackrel{\hookrightarrow}{B}(M') . \overrightarrow{\mathrm{d}l}(M') = \frac{\mu_0I}{2\pi}\int^{-\frac{\pi}{2}}_{+\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\varphi = -\frac{\mu_0I}{2}\)

    Notons que, compte tenu du sens de circulation sur \(\mathsf{(D')}\) , on intègre de \(+\pi/2\) à \(-\pi/2\).

  • Finalement on a :

    \(\displaystyle{\oint_{\textcircled{C}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \int_{\mathsf{(D)}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} + \int_{\mathsf{(D')}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \frac{\mu_0I}{2} - \frac{\mu_0I}{2} = 0}\)

    L'ensemble des deux droites \(\mathsf{(D)}\) et \(\mathsf{(D')}\) constitue un contour fermé \(\textcircled{C}\) sur lequel la circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) est nulle ; notons que, dans ce cas, aucun courant ne traverse la surface délimitée par le contour fermé \(\textcircled{C}\).

  • Circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) sur un contour fermé \(\textcircled{C}\) constitué par deux droites parallèles \(\mathsf{(D)}\) et \(\mathsf{(D')}\), perpendiculaires au conducteur \(\mathfrak{(D)}\) et situées de part et d'autre de \(Oz\), dans le plan \(xOy\).

    Choisissons un sens de parcours sur chacune des droites de telle sorte que le vecteur unitaire \(\vec e_{N}\) orthogonal à la surface qui s'appuie sur le contour fermé qu'elles forment soit parallèle à \(\vec e_{z}\).

  • Circulation sur \(\mathfrak{(D)}\)

    Compte-tenu des calculs précédents, on a :

    \(\displaystyle{\int_{\mathfrak{(D)}} \stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) . \overrightarrow{\mathrm{d}l}(M) = \frac{\mu_0I}{2}}\)

  • Circulation sur \(\mathfrak{(D')}\)

    Compte-tenu du sens indiqué, les bornes angulaires de l'intégration passent ici de la valeur \(+\pi / 2\) à la valeur \(+3\pi / 2\) ; on a :

    \(\int_{\mathfrak{(D')}} \stackrel{\hookrightarrow}{B'}(M'). \overrightarrow{\mathrm dl}(M') = \frac{\mu_0I}{2}\int^{3\pi/2}_{\pi/2}\mathrm{d}\varphi' = \frac{\mu_0I}{2}\)

  • Finalement, on a :

    \(\displaystyle{\oint_{\textcircled{C}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \int_{\mathfrak{(D)}} \stackrel{\hookrightarrow}{B} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} + \int_{\mathfrak{(D')}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \frac{\mu_0I}{2} + \frac{\mu_0I}{2} = \mu_0I}\)

    La circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) le long du contour fermé \(\textcircled{C}\) constitué par les droites \(\mathfrak{(D)}\) et \(\mathfrak{(D')}\) est égale à \(\mu_0I\).

    Le courant \(\mathsf{I}\) traversant la surface délimitée par le contour fermé \(\textcircled{C}\) formé par \(\mathfrak{(D)}\) et \(\mathfrak{(D')}\) et son sens coïncidant avec celui du vecteur unitaire \(\vec e_{N}\) orthogonal à la surface délimitée par \(\textcircled{C}\) , la circulation de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) sur \(\textcircled{C}\) est positive.