Forces et travail en magnétostatique

Nous savons que la force de Lorentz^[1] exercée par un champ électromagnétique \((\vec E, \stackrel{\hookrightarrow}{B})\) sur une charge ponctuelle \(q\) animée d'une vitesse \(\vec v\) a pour expression :

\(\vec F(M) = q[ \vec E(M) + \vec v(M) \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)]\)

La force de Laplace^[2] correspond à la partie magnétique de cette expression, soit :

\(\vec F_m(M) = q[ \vec v(M) \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)]\)

\(\vec F_m\) n'agit que si la charge est déjà en mouvement ; si la charge est immobile, alors \(\vec F_m = \vec 0\).

Ainsi, contrairement au champ électrique, un champ magnétique ne met pas des charges en mouvement.

Comme le travail \(\mathsf{W}\) des forces appliquées à une particule est égal à la variation de son énergie cinétique \(\mathcal{E}_c\) , au cours du déplacement élémentaire \(\overrightarrow{\mathrm{d}l}_d\) , le travail \(\delta W_m\) de \(\vec F_m\) obéit à l'équation :

\(\delta W_m = \mathrm{d}\mathcal{E}_c = \mathrm{d} (\frac{1}{2} mv^2) = \vec F_m . \overrightarrow{\mathrm{d}l}_d = \vec F_m . (\vec v \mathrm{d}t) = q(\vec v \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B}) . (\vec v\mathrm{d}t) = 0\)

Ainsi, contrairement au champ électrique, le champ magnétostatique n'accélère pas des particules chargées ; il ne peut que les dévier.

Considérons un courant volumique \(\vec J\) placé dans un champ extérieur \(\stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\).

Soit \(n\) le nombre de charges par unité de volume dans ce courant ; la force de Laplace qui s'exerce sur l'elément de volume du courant s'écrit alors :

\(\overrightarrow{\mathrm{d}F_m} = (q \vec v \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}})} n \mathrm{d}\mathfrak{V} = \vec J \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}} \mathrm{d}\mathfrak{V}\)

Ainsi, un élément de circuit placé dans un champ magnétique extérieur \(\stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\) est soumis à la force \(\overrightarrow{\mathrm{d}F_m} = \overrightarrow{\mathrm{d}\mathcal{C}}(P) \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}(P)\)

avec \(\overrightarrow{\mathrm{d}\mathcal{C}}(P) = \vec J(P)\mathrm{d}\mathfrak{V} = \vec J_{\mathcal{S}}(P) \mathrm{d}\mathfrak{S}_{\mathcal{S}} = I \overrightarrow{\mathrm{d}l} (P)\), \(\mathsf{P}\) étant un point du circuit.

L'expression générale de la force de Laplace agissant sur une distribution de courant \(\mathfrak{D}\) est donc :

\(\displaystyle{\vec F_m = \int_{\mathfrak{D}} \overrightarrow{\mathrm{d}\mathcal{C}}(P)\wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}(P)}\)

C'est la force qui peut provoquer le déplacement de cette distribution de courant.