Courbe engendrée par variation d'une coordonnée (en cylindrique)
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
On détermine la position \(M\) d'un événement dans l'espace, par rapport à un repère direct formé de trois axes rectangulaires \((O : x, y, z)\), au moyen du système de coordonnées cylindriques : \(M\rightarrow M(\rho,\varphi, z)\).
A l'aide de schémas, montrez quelles courbes décrit le point \(M\) lorsqu'on fait varier une coordonnée, les deux autres restant constantes.
Solution
Lorsqu'on fixe \(\rho\) et \(\varphi\), \(H\) est fixe dans le plan \(Oxy\) et \(M\) se déplace sur la droite parallèle à \(Oz\), passant par \(H\), lorsque \(z\) varie.
(2 points)
Lorsqu'on fixe \(z\) et \(\varphi\), \(M\) se déplace sur la demi-droite \([CM)\) lorsque \(\rho\) varie.
(2 points)
Lorsque \(\rho\) et \(z\) sont fixés, \(M\) se déplace dans un plan horizontal sur le cercle de rayon \(CM = \rho\) centré en \(C\) lorsque \(\varphi\) varie.
(2 points)
Rappel :
\(\overline{OC}=z\) avec \(C=M (0,\varphi, z)\) ; \(\overline{OM}=\rho\ge 0\) avec \(H=M(\rho,\varphi, 0)\) ; \((\vec{Ox},\vec{OH})=\varphi\) avec \(0\le\varphi<2\pi\)