Uniformité du champ de vecteurs u (en cartésien)
Durée : 4 mn
Note maximale : 4
Question
On détermine la position \(M\) d'un événement dans l'espace, par rapport à un repère direct formé de trois axes rectangulaires \((O: x, y, z)\), au moyen du système de coordonnées cartésiennes : \(M \rightarrow M (x,y,z)\).
A l'aide de schémas, rappelez quelles courbes décrit le point \(M\) lorsqu'on fait varier une coordonnée, les deux autres restant constantes.
Trouvez comment varie chaque vecteur unitaire lorsque \(M\) se déplace sur une de ces courbes.
On appelle \((\vec{du}_j)_i\) l'accroissement infinitésimal de \(\vec{u_j}\) produit par l'accroissement de \(i\) seul.
Calculez les quantités \(\frac{\vec{du}_j}{di}\) où \(i\) et \(j\) sont \(x\), \(y\) ou \(z\).
Solution
On a vu que les courbes en question étaient des droites. Lorsque \(M\) se déplace sur l'une d'entre elles, les vecteurs unitaires subissent une translation : ils sont donc invariants.
(2 points)
Les champs de vecteurs \(\vec{u_x}\), \(\vec{u_y}\), \(\vec{u_z}\) sont donc uniformes.
Ainsi, lorsqu'on passe de \(M\) à \(M'\) en donnant à la coordonnée \(i\) (avec \(i = x\), \(y\) ou \(z\)) un accroissement \(di\), les accroissements (avec \(j = x\), \(y\) ou \(z\)) sont nuls et \(\frac{\vec{du}_j}{di}=\vec{0}\)
(2 points)