Uniformité du champ de vecteurs u (en cylindrique)
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
On détermine la position \(M\) d'un événement dans l'espace, par rapport à un repère direct formé de trois axes rectangulaires \((O, x, y, z)\), au moyen du système de coordonnées cylindriques : \(M \rightarrow M(\rho,\varphi,z)\).
A l'aide de schémas, rappelez quelles courbes décrit le point \(M\) lorsqu'on fait varier une coordonnée, les deux autres restant constantes.
On appelle \(d\vec{(u_j)}\) l'accroissement infinitésimal \(\vec{u_j}\) de produit par l'accroissement de \(i\) seul.
Trouvez comment varie chaque vecteur unitaire lorsque \(M\) se déplace sur une de ces courbes.
Calculez les quantités \(\displaystyle{ \frac {\vec{du_j}} {di} }\) où \(i\) et \(j\) sont \(\rho\), \(\varphi\) ou \(z\).
Solution
Lorsqu'on accroît \(\rho\) ou \(z\), \(M\) se déplace sur une droite et les vecteurs unitaires subissent une translation. Ils sont invariants et \(\displaystyle{ \frac {\vec{du}_j} {di} = \vec{0}}\)
(2 points)
Lorsqu'on accroît \(\varphi\), \(M\) se déplace sur un cercle et \(\vec{u_z}\) reste parallèle à \(Oz\) :
\(\frac{\vec{du_z}}{d\varphi}=\vec{0}\)
(2 points)
En revanche, \(\vec{u_r}\) et \(\vec{u_\varphi}\) subissent une rotation d'angle de \(d\varphi\) autour de l'axe \(Oz\) dans \(xMy\).
On a
\(||\vec{du_r}||=||\vec{du_\varphi}||=d\varphi\).
(1 point)
\(\vec{du_r}\) est dirigé suivant \(\vec{u_\varphi}\), \(\vec{du_\varphi}\) suivant \(-\vec{u_r}\)
(2 points)
On a donc,\( \frac{\vec{du_r}} {d\varphi} = \vec{u_\varphi}\), \(\frac{\vec{du_\varphi}} {d\varphi} = -\vec{u_r}\).
(1 point)