Déplacement dû à la variation d'une coordonnée (en sphérique)
Durée : 3 mn
Note maximale : 3
Question
Le vecteur \(\vec{OM}\) détermine la position d'un point \(M\) de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct \((O : x, y, z)\).
Le vecteur \(\vec{MM'}\) détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points \(M\) et \(M'\).
Exprimez en coordonnées sphériques \((r, \theta, \varphi)\) la mesure algébrique \(ds\) de chaque élément de courbe décrit par \(M\) lorsqu'on donne un accroissement infinitésimal à l'une des coordonnées, les autres restant constantes.
Solution
Lorsque \(\theta\) et \(\varphi\) sont fixés, l'accroissement \(dr\) de \(r\) correspond à un segment \(MM'\) sur la demi-droite \(OM\) .
On a \(ds=\overline{MM'}=dr\).
(1 point)
Lorsque \(r\) et \(\theta\) sont fixés, \(MM_1\) est un arc du cercle de rayon \(r\sin\theta\) centré en \(C\).
\(ds=MM_1=r\sin\theta d\)
(1 point)
Lorsque \(r\) et \(\varphi\) sont fixés, \(MM_2\) est un arc du demi-cercle de rayon r centré en 0.
On a \(ds=MM_2=rd\theta\).
(Pour un déplacement infinitésimal, les arcs de courbe sont assimilables à des segments de droite : on a \(MN\simeq\overline{MN}\))
(1 point)