Conservation dans un champ de potentiel.
Durée : 14 mn
Note maximale : 14
Question
Ecrivez l'équation fondamentale de la dynamique pour un point matériel soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel \(U\) en faisant apparaître sa quantité de mouvement.
Dans le cas où \(U\) est une fonction des coordonnées cylindriques \(r\) et \(\phi\), projetez cette équation sur les axes portant les vecteurs unitaires \(\vec{u_r}\) et \(\vec{u_\phi}\) en laissant apparaître les composantes \(p_r\) et \(p_\phi\) de la quantité de mouvement.
Examinez les conséquences du fait que \(U\) ne dépend pas explicitement de \(r\) sur la conservation de la composante \(p_r\) de la quantité de mouvement.
Examinez le cas d'un point matériel contraint de se mouvoir dans un plan où il est soumis à l'action du champ central. Montrez que la grandeur conservée est la composante \(L_z\) suivant l'axe \(Oz\), perpendiculaire au plan, du moment cinétique \(\vec{L}\).
Solution
Lorsque le point matériel est soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel, l'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}=-\vec{grad}U}\)
(2 points)
On a \(\vec{p}=p_r\vec{u_r}+p_\phi\vec{u_\phi}\), et donc
\(\begin{array}{rcl}\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}}&=&\displaystyle{\frac{dp_r}{dt}\vec{u_r}+p_r\frac{d\vec{u_r}}{dt}+\frac{dp_\phi}{dt}\vec{u_\phi}+p_\phi\frac{d\vec{u_\phi}}{dt}}\\&=&\displaystyle{\left[\frac{dp_r}{dt}-p_\phi\frac{d\phi}{dt}\right]\vec{u_r}+\left[\frac{dp_\phi}{dt}+p_r\frac{d\phi}{dt}\right]\vec{u_\phi}}\end{array}\)
(2 points)
On obtient donc en projetant
\(\displaystyle{\frac{dp_r}{dt}-p_\phi\frac{d\phi}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta r}}\)
\(\displaystyle{\frac{dp_\phi}{dt}+p_r\frac{d\phi}{dt}=-\frac{1}{r}\frac{\delta U}{\delta\phi}}\)
( \(r\delta\phi\) et non pas \(\delta\phi\) car le gradient mesure un taux de variation dans l'espace).
(3 points)
Ainsi, par exemple, si \(U\) ne dépend pas de \(r\), on a \(\displaystyle{\frac{dp_r}{dt}=p_\phi\frac{d\phi}{dt}}\) et la composante radiale \(p_r\)
de \(\vec{p}\) n'est conservée que le long de trajectoires pour lesquelles \(\phi\) est constant, c'est à dire passant par \(O\).
(2 points)
De \(\displaystyle{p_r=m\frac{dr}{dt}}\) et \(\displaystyle{p_\phi=mr\frac{d\phi}{dt}}\), on déduit que
\(\displaystyle{-\frac{1}{r}\frac{\delta U}{\delta\phi}=m\left[\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]+m\left[\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\right]}\)
(1 point)
Dans le cas où \(U = U(r)\), on a donc
\(\displaystyle{-\frac{\delta U}{\delta\phi}=m\left[2r\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r^2\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]=\frac{d}{dt}\left[mr^2\frac{d\phi}{dt}\right]}=0\).
(2 points)
On vérifie que \(\displaystyle{mr^2\frac{d\phi}{dt}=L_z}\):
en effet, de \(\vec{L}=m\vec{r}\wedge\vec{v}\) on tire
\(\displaystyle{L_z=\vec{L}.\vec{u_z}=mr^2\frac{d\phi}{dt}}\)
(1 point)
On déduit que \(L_z\) se conserve dans un champ central pour lequel \(U\) ne dépend pas de \(\phi\).
(1 point)