Champ de gravitation

Ce qu'il faut retenir :

• La force d'interaction à distance exercée par une masse \(m\) sur une autre masse \(m'\) est attractive; elle dépend de la distance entre les points et des masses des points matériels. Elle décroît comme l'inverse du carré de la distance:

• \(G\), constante de gravitation universelle vaut:

  \(G=6,670.10^{-11}\textrm{N.m}^2\textrm{kg}^{-2}\)

• Le champ de gravitation est central.

• Les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques.

• Les lignes de champ sont les trajectoires orthogonales à ces sphères, ce sont des droites passant par le centre du champ: elles sont radiales.

• Son énergie potentielle \(U\) est liée à la fonction potentiel par la relation :

  \(\displaystyle{U(M)-U(M_0)=Gmm'\int_{r_0}^r\frac{-1}{r^2}dr=-Gmm'[\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}]}\)

• Dans un champ de forces central, le moment cinétique est un vecteur constant et la trajectoire est plane (loi des aires).

• L'équation générale des orbites s'écrit

  \(\displaystyle{\rho=\frac{p}{1+\textrm e\cos\theta}}\)

• C'est l'équation polaire d'une conique de paramètre \(p\) et d'excentricité \(e\). Si l'énergie initiale du corps dans le champ gravitationnel est \(E\), la trajectoire est:

  - une hyperbole si \(e>1, E>0\)

  - une parabole si \(e = 1, E = 0\)

  - une ellipse si \(e < 1, 0 < 0\)

  - un cercle si \(e = 0, E < 0\)

• La période du mouvement elliptique (ou circulaire) s'obtient à partir de la troisième loi de Kepler: Le rapport du carré de la période de révolution elliptique est proportionnel au cube du demi-grand-axe; il est le même pour toutes les planètes.

• L'accélération de la pesanteur se définit en fonction du champ de gravitation et de l'accélération d'entraînement par la composition vectorielle suivante :

  \(\displaystyle{\overrightarrow g=\overrightarrow A-\overrightarrow{\gamma_e}}\)

  La verticale est donnée par rapport à la direction du fil à plomb. L'horizontale est définie par le niveau de l'eau.