Vitesse de libération

Partie

Question

Vitesse de libération (*)

Un corps est lancé de la surface de la terre verticalement vers le haut avec une vitesse initiale \(\overrightarrow v_o\). On néglige tout frottement et on suppose le référentiel local galiléen, ce qui revient à ne tenir compte que de la force de gravitation de la terre sur le corps. Calculer la vitesse du corps à une altitude \(h\). En déduire la vitesse de libération terrestre.

Application numérique: rayon de la terre \(R = 6380\textrm{ km}\), accélération de la pesanteur \(g_0 = 9,8\textrm{ m.s}^{-2}\).

Aide simple

Utiliser le théorème de l'énergie cinétique

Solution détaillée

L'interaction de la terre sur le corps est, en appelant M la masse de la terre, m la masse du corps et r la distance du centre de la terre au corps :

\(\displaystyle{\overrightarrow F=-G\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow u_r}\)

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre le sol et l'altitude h s'écrit, le référentiel local étant supposé galiléen :

\(\displaystyle{T(R+h)-T(R)=-GmM\int_R^{R+h}\frac{1}{r^2}\overrightarrow u_r\cdot\textrm dr\overrightarrow u_r=Gm\int_R^{R+h}\frac{-1}{r^2}\textrm dr=Gm[\frac{1}{R+h}-\frac{1}{R}]}\)

\(\displaystyle{T(R+h)-T(R)=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}v_o^2=Gm[\frac{1}{R+h}-\frac{1}{R}]}\)

d'où on tire avec \(v = v_0 \textrm{ pour }r = R\) (rayon de la terre) :

\(\displaystyle{v^2=2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})+v_o^2}\)

En posant :\( r = R + h\)\(h\) est l' altitude du corps au dessus de la surface de la terre.

Il vient : \(\displaystyle{v^2=v_0^2-2\frac{GM}{R^2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})}\)

soit avec\( \displaystyle{g=\frac{GM}{R^2}\;v=\sqrt{v_o^2-2g\frac{Rh}{R+h}}}\)

Quand \(\displaystyle{h\to\infty}\), la vitesse tend vers une limite :

\(vl=\sqrt{{v_o}^2-\frac{2GM}{R}}=\sqrt{{{v_o}^2}-2gR}\)

La valeur minimale de \(v_0\) (vitesse de libération) correspond à

\(\displaystyle{vl=0 :v_o=\sqrt{2gR}}\)

A.N. \(v_0 = 11,2 \textrm{ km.s}^{-1}\).