Physique
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Méthode de Bessel et de Silbermann
applicable aux lentilles convergentes

Etablissons la relation qui existe entre la distance objet-image : et la position de l'objet

En appliquant la relation de conjugaison :

on en déduit :

d'où

soit :

La fonction D = f ( p ) n'est pas définie pour p = - f ' et si alors la courbe est asymptote à la droite d'équation D = f ' - p

la dérivée vaut :

étudions le signe de cette dérivée en fonction de p (voir tableau).

d'où la courbe représentative de D en fonction de p.

Pour une lentille convergente la partie de la courbe en pointillés rouge n'a pas de signification physique puisque l'objet et son image seraient virtuels.

Calculons les abscisses des points d'intersection et de la courbe D = f (p) avec la droite D = constante.

Elles sont solution de : les solutions sont donc :

à condition que soit

Méthode de Bessel

si on peut écrire :

Etant donné une lentille convergente de distance focale f ' et à condition que il existe deux positions et pour lesquelles la lentille convergente donne en A' l'image nette d'un objet placé en A.

soit :

en multipliant membre à membre ces deux équations :

on en déduit :

La méthode de Bessel pour déterminer la distance focale f ' consiste donc à s'imposer une distance D entre un objet A et un écran E et à rechercher les deux positions de la lentille L qui donnent une image nette de A sur l'écran E. En mesurant les distances D et d on calcule la valeur de la distance focale f '. S'il n'est pas possible de trouver ces deux positions on augmente la valeur de la distance D qui sépare l'objet A de l'écran E.

Méthode de Silbermann

Cette méthode est un cas particulier de la méthode de Bessel.

Si D = 4 f ' alors p = - 2 f ' et p' = 2 f '. L'image et l'objet sont symétriques par rapport à S et le grandissement vaut -1 : l'objet et son image sont situés dans les plans antiprincipaux.

On déduira donc la valeur de la distance focale f ' de la lentille en diminuant la distance D qui sépare l'objet de son image jusqu'à ce que l'image soit identique à l'objet mais renversée ; on divise alors la distance correspondante par 4 pour obtenir f '.

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L'animation didacticielle suivante illustre la détermination d'une distance focale par la méthode de Bessel et Silbermann :

Légende :
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S'exercer
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