Question 1
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
En admettant que la vitesse \(v\) acquise par un corps de masse \(m\) tombant, dans le vide d'une hauteur \(h\) soit de la forme: \(v = k m^{\alpha }h^{\beta }g^{\gamma }\)
déterminer \(\alpha , \beta , \gamma \)par des considérations d'homogénéité (\(k\) est une constante).
Solution
La relation de la vitesse nous permet d'écrire l'équation aux dimensions:
\(\textrm{dim }v = \textrm{dim }(m)^\alpha \times \textrm{dim }(h)^\beta \times \textrm{dim }(g)^\gamma\)
or \(\textrm{dim }v = LT^{-1}\)
et
\(\textrm{dim }g = \textrm{dim }(\textrm{ vitesse }) / \textrm{dim }(\textrm{ temps }) = LT^{-2}\) ,
donc \(LT^{-1} = M^\alpha L^\beta (LT^{-2})^\gamma = L^{\beta+\gamma} M^\alpha T^{-2\gamma} \) ( 3 points )
par identification:
\(\left\{\begin{array}{ll} 1 = \beta + \gamma \\ \alpha = 0 \\ -1 = -2 \gamma \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll} \alpha = 0 \\ \beta = \gamma = \frac{1}{2} \end{array}\right.\) ( 2 points )
d'où la forme de la vitesse:
\(v = k \sqrt{gh}\) ( 3 points )