Question 2
Durée : 6 mn
Note maximale : 8
Question
On considère un pendule simple composé d'une masse pesante, suspendue à un fil long et fin, sans torsion. Expérimentalement on trouve que sa période \(T\) dépend de la longueur \(l\) du fil de la masse \(m\) ou du module du poids \(mg\) de l'objet suspendu. En supposant une relation pour \(T\) de la forme
\(T = k~ l^{\alpha}~m^{\beta}~g^{\gamma}\)
où \(k\) est une constante.
Déterminer par une analyse dimensionnelle \(\alpha\) , \(\beta\) et \(\gamma\) .
Solution
L'analyse dimensionnelle nous conduit à :
\(\textrm{dim }T = \textrm{dim }(l)^\alpha \times \textrm{dim }(m)^\beta \times \textrm{dim }(g)^\gamma\)
\(\textrm{dim }T = (L^\alpha )(M^\beta )(LT^{-2})^\gamma = L^\alpha M^\beta L^{\gamma} T^{-2\gamma} = L^{\alpha +\beta} M^\beta T^{-2\gamma}\) ( 3 points )
puisque \(\textrm{dim }T = T\) nous obtenons par identification:
\(\left\{\begin{array}{ll} 0 = \alpha + \gamma \\ 0 = \beta \\ 1 = -2 \gamma \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll} \alpha = 1/2 \\ \beta = 0 \\ \gamma = -1/2 \end{array}\right.\) ( 2 points )
c'est à dire la période
\(T = k \sqrt{\frac{l}{g}}\) ( 2 points )