Physique
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Barycentre

Les points considérés appartiennent au plan ou à l'espace. Un point affecté d'un réel noté est appelé point pondéré (point massif en physique quand représente une masse).

Définition
  • Le point est appelé le barycentre, de n points pondérés si :

et

Pour un point arbitraire, nous avons :

Coordonnées du barycentre : Dans l'espace muni d'un repère , en notant les coordonnées du point pondéré et celles de , alors :

Exemple : Détermination des coordonnées du barycentre

On donne trois points dans un repère orthonormé :

Calculer les coordonnées du barycentre de ces trois points pondérés respectivement des coefficients , et .

Calculons , d'où

donc coordonnées du barycentre

Définition
  • Le barycentre de points pondérés avec , est appelé isobarycentre des points .

Exemple

On donne trois points dans un repère orthonormé :

Calculer les coordonnées de l'isobarycentre de ces trois points pondérés respectivement des coefficients .

Puisque , nous obtenons :

donc coordonnées de l'isobarycentre

Propriété

Soit points pondérés :

Si

  • Pour tout point , on a :

(voir la démonstration ci dessous)

pour tout , les points pondérées

et ont même barycentre car

Invariance du barycentre

Démonstration

puisque par définition du barycentre :

Propriété
  • Le barycentre de points ponderés est invariant quand on remplace d'entre eux, par leur barycentre , affecté de la somme de leur coefficient, est alors le barycentre de :

Démonstration

Si est le barycentre des points pondérés alors :

Pour le cas particulier où

Or étant le barycentre des points pondérés donc

Comme l'égalité précédente prouve que est le barycentre des points pondérés :

Propriété

Si

  • Pour tous points et :

Démonstration

Pour différent de , calculons :

puisque

et

Applications
  • En géométrie

L'isobarycentre de deux points et se situe au milieu du segment .

L'isobarycentre de trois points , et , non alignés, se trouve au centre de gravité du triangle , point de concours des trois médianes.

point de concours des médianes

, et du triangle .

L'isobarycentre de quatre points , , et , non coplanaires, est le centre de gravité du tétraèdre , point de concours des quatre médianes et des trois droites joignant les milieux de deux arêtes opposées.

, et centre de gravité des triangles , , ,

point de concours des quatre médianes et des trois droites joignant les milieux de deux arêtes opposées.

  • En Physique

Le barycentre d'un système de points matériels , de masse , est appelée centre de gravité ou centre d'inertie du système et défini par :

avec masse totale du système

Le barycentre d'un système matériel continu, se définit par :

avec symbole d'intégration étendu au système matériel (courbe, surface, volume).

barycentre G

Quatre points massifs

Projection sur :

Centre de gravité

Légende :
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