Définitions
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\), noté \(\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V}\), est un scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de leur angle \(\theta = \Big( \overrightarrow{U} , \overrightarrow {V}\Big)\).
\(\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} = \Arrowvert \overrightarrow{U} \Arrowvert ~\Arrowvert \overrightarrow{V} \Arrowvert \cos \theta\)
Le produit scalaire est donc positif pour \(\theta\) aigu, négatif pour \(\theta\) obtu.
Cas de deux vecteurs portés par deux axes.
Par définition du produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\):
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} =\Arrowvert \overrightarrow{AB}\Arrowvert~\Arrowvert \overrightarrow{CD}\Arrowvert \cos \Big( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{CD} \Big) =\Arrowvert \overrightarrow{AB}\Arrowvert \times \overrightarrow{C'D'}\)
car \(\overline{C'D'} = \textrm{proj}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{CD} = \Arrowvert \overrightarrow{CD} \Arrowvert \cos \Big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \Big)\)
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui.
En posant \(U_x , U_y , U_z\) et \(V_x , V_y , V_z\) les composantes respectives de \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\) dans la base orthonormée \(\Big( \vec{i},\vec{j},\vec{k} \Big)\), le produit scalaire de ces deux vecteurs est le scalaire défini par la relation :
\(\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} = \Big(U_{x} \vec{i} + U_{y} \vec{j} + U_{z} \vec{k} \Big) \cdot \Big(V_{x} \vec{i} + V_{y} \vec{j} + V_{z} \vec{k} \Big)\)
\(\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} = U_{x} V_{x} + U_{y} V_{y} + U_{z}V_{z}\)
sachant que :
\(\vec{i}.\vec{i} = \vec{j}.\vec{j} = \vec{k}.\vec{k} = 1\)
\(\vec{i}.\vec{j} = \vec{j}.\vec{k} = \vec{k}.\vec{i} = 0\)
Disposition pratique
\(\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} = \left[ \begin{array}{lll} U_{x} \\ U_{y} \\ U_{z} \end{array}\right.\cdot \left[ \begin{array}{lll} V_{x} \\ V_{y} \\ V_{z} \end{array}\right. = U_{x} V_{x} + U_{y}V_{y} + U_{z}V_{z}\)