Propriétés de la multiplication scalaire
Propriété :
Commutativité : \(\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} =\overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{U}\)
Bilinéarité : \(\left\{\begin{array}{lll} \Big(\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Big) \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{W} + \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{W} \\ \Big(\alpha \overrightarrow{U}\Big)\cdot \Big(\beta \overrightarrow{V} \Big) = ( \alpha \beta ) \Big(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V} \Big) ~(\alpha \in \mathbb{R} , \beta \in \mathbb{R} )\end{array}\right.\)
\(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U} = {\overrightarrow{U}}^{2} >0\) si \(\overrightarrow{U} \ne 0 ~\Bigg({\overrightarrow{U}}^{2} = {\Arrowvert \overrightarrow{U} \Arrowvert} ^{2} \Bigg)\)
\(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V} = 0\) si \(\overrightarrow{U} = \overrightarrow{0}\) ou \(\overrightarrow{V} = \overrightarrow{0}\) ou \(\overrightarrow{U} \perp \overrightarrow{V}\)
\(\Big(\overrightarrow{U} \pm \overrightarrow{V}\Big)^{2} = \Big(\overrightarrow{U} \Big)^{2} \pm2 \Big(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V} \Big) + \Big(\overrightarrow{V} \Big)^{2}\)
\(\Big(\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}\Big)\cdot\Big(\overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}\Big) = \Big(\overrightarrow{U} \Big)^{2} - \Big(\overrightarrow{V} \Big)^{2}\)
\(\Big(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}\Big)^{2} \le \Big(\overrightarrow{U} \Big)^{2}\Big(\overrightarrow{V} \Big)^{2} \Leftrightarrow |\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}| \le \Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert~\Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert\) ( inégalité de Schwartz )
Démonstration :
D'après la positivité du produit scalaire nous avons :
\(\begin{array}{lll} \forall \alpha \in \mathbb{R} ~\Big(\overrightarrow{U} +\alpha \overrightarrow{V}\Big)^{2} &= \Big(\overrightarrow{U} +\alpha \overrightarrow{V}\Big) \cdot \Big(\overrightarrow{U} +\alpha \overrightarrow{V}\Big) \\ & = {\overrightarrow{U}}^{2} + 2 \alpha \Big(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}\Big) + \alpha^{2} {\overrightarrow{V}}^{2} \ge 0 \end{array}\)
Le trinôme en \(\alpha\) n'étant pas négatif, il en résulte que son déterminant réduit est négatif ou nul :
\(\Delta' = \Big(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}\Big)^{2} - \Big({\overrightarrow{V}}^{2} \Big) \Big({\overrightarrow{U}}^{2} \Big) \le 0\)
soit \(\Big(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}\Big)^{2} \le \Big({\overrightarrow{V}}^{2} \Big) \Big({\overrightarrow{U}}^{2} \Big)\)
\(\Leftrightarrow ~|\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}| \le \Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert~\Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert\) (inégalité de Schwartz)
\(\Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{U} = \overrightarrow{0}\)
\(\Arrowvert \alpha \overrightarrow{U}\Arrowvert = \alpha \Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert\) \((\alpha \textrm{ scalaire})\)
\(\Arrowvert\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Arrowvert \le \Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert + \Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert\) (inégalité triangulaire)
Démonstration :
Calculons :
\(\begin{array}{ll}{\Arrowvert\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Arrowvert} ^{2} & = \Big(\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Big) \cdot \Big(\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Big) \\ & = {\overrightarrow{U}}^{2} + 2 \overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} + {\overrightarrow{V}}^{2} \end{array}\)
or d'après l'inégalité de Schwartz :
\(\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V} \le |\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}| \le \Arrowvert\overrightarrow{U} \Arrowvert~\Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert\)
d'où \({\Arrowvert\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Arrowvert} ^{2} \le {\Arrowvert\overrightarrow{U} \Arrowvert} ^{2} +2\Arrowvert\overrightarrow{U} \Arrowvert~\Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert + {\Arrowvert \overrightarrow{V} \Arrowvert} ^{2}\)
soit \({\Arrowvert\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Arrowvert} ^{2} \le \Big[\Arrowvert\overrightarrow{U} \Arrowvert + \Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert \Big]^{2}\)
et puisque \(\Arrowvert\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Arrowvert\) est positif :
\(\Arrowvert\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} \Arrowvert \le \Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert + \Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert\) (inégalité triangulaire)