Nombres complexes

On appelle nombre complexe tout couple ordonné \((a,b)\) de \(\mathbb{R}^{2}\). Un élément z de l'ensemble C des nombres complexes est représenté par z = (a,b).

On munit l'ensemble \(\mathbb{C}\) des couples ordonnés, d'une égalité, d'une addition et d'une multiplication définies de la façon suivante:

Egalité : \(\underline{z} = \underline{z'} \Leftrightarrow (a,b) = (a',b') \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a=a' \\ \textrm{et} \\ b=b' \end{array} \right.\)

Addition : \(\underline{z} + \underline{z'} = \underline{z''} \Leftrightarrow (a,b) + (a',b') = ( a + a', b + b') \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a'' = a + a' \\ \textrm{et} \\ b'' = b + b' \end{array} \right.\)

Multiplication : \(\underline{z} \cdot \underline{z'} = \underline{z''} \Leftrightarrow (a,b) \cdot (a',b') = (aa' - bb' , ab' + a'b) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a'' = aa - bb' \\ \textrm{et} \\ b'' = ab' + a'b \end{array} \right.\)