Groupe

Définition

on appelle groupe, tout ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne \(\ast\) possédant les propriétés suivantes:

  • Associativité : \(\forall (a, b , c) \in E^{3}, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\)

  • Élément neutre : \(\forall a \in E, (a \ast e) = (e \ast a) = a\) , \(e\) est l'élément neutre

  • Élément symétrique : \(\forall a \in E , \exists ~a' \in E, (a \ast a') = (a' \ast a) = e\), \(a'\) est l'élément symétrique

Le groupe est dit commutatif ou abélien si la loi \(\ast \)vérifie :

Commutativité : \(\forall (a, b) \in E^{2} : (a \ast b) = (b \ast a)\)

Exemple

Groupe additif : Groupe abélien dans lequel l'opérateur est noté \((+)\).

  • L'élément neutre est noté \(0\).

  • Le symétrique de a est appelé opposé de a est noté \(-a\).

  • Le composé de \(2\) éléments a et b est appelé somme et noté \(a + b = b + a\).

Groupe multiplicatif : Groupe abélien (ou non abélien) dans lequel l'opérateur est noté \((\times)\) ou \((\cdot)\) ( ou sans aucun signe)

  • L'élément neutre est noté \(1\).

  • Le symétrique de \(a\) est appelé inverse et noté \(1/a\).

  • Le composé de \(2\) éléments \(a\) et \(b\) est appelé produit et noté \(a \times b\) ou \(a \cdot b\) ou \(ab\).

  • Si le groupe n'est pas abélien \(ab \ne ba\).

Propriété

  1. Tout élément d'un groupe est régulier

    \(\forall (a, b , c) \in E^{3}\) et \(\begin{array}{ll} a \ast b = a \ast c \Rightarrow b = c \\ b \ast a = c \ast a \Rightarrow b = c \end{array}\) simplification

  2. Quels que soient \(a\) et \(b\), l'équation \(a \ast x = b\) admet une solution unique

    \(\begin{array}{ll} a \ast x = b  \Rightarrow x = a' \ast b \\ x \ast a = b  \Rightarrow x = b \ast a\end{array}\) \(a'\) : symétrique de \(a\)

    Exemples :

    Pour un groupe additif de \(\mathbb{R}\) : \(a + x = b x = (-a) +b\)

    Pour un groupe multiplicatif de \(\mathbb{R}^{\ast }\) : \(a x = b \Rightarrow x = a^{-1} b\)