Physique
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Groupe
Définition

on appelle groupe, tout ensemble muni d'une loi de composition interne possédant les propriétés suivantes:

  • Associativité :

  • Elément neutre : , est l'élément neutre

  • Elément symétrique : , est l'élément symétrique

Le groupe est dit commutatif ou abélien si la loi vérifie :

Commutativité :

Exemple

Groupe additif : Groupe abélien dans lequel l'opérateur est noté .

  • L'élément neutre est noté .

  • Le symétrique de a est appelé opposé de a est noté .

  • Le composé de éléments a et b est appelé somme et noté .

Groupe multiplicatif : Groupe abélien (ou non abélien) dans lequel l'opérateur est noté ou ( ou sans aucun signe)

  • L'élément neutre est noté .

  • Le symétrique de est appelé inverse et noté .

  • Le composé de éléments et est appelé produit et noté ou ou .

  • Si le groupe n'est pas abélien .

Propriétés d'un groupe
  1. Tout élément d'un groupe est régulier

    et simplification

  2. Quels que soient et , l'équation admet une solution unique

    : symétrique de

    Exemples :

    Pour un groupe additif de :

    Pour un groupe multiplicatif de :

Légende :
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