Physique
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Loi de composition interne
Définition

On appelle loi de composition interne dans un ensemble , une application de dans , qui à tout couple de fait correspondre un élément unique de .

Notation de l'ensemble muni de la loi : .

Exemple
  • L'addition et la multiplication sont des lois de composition interne dans , et .

  • La somme géométrique est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs de et .

  • Le produit vectoriel est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs de ( et non de ).

Propriétés des lois de composition interne

Associativité

Exemples :

  • Associativité dans , , et pour l'addition et la multiplication

  • Non association du produit vectoriel dans l'ensemble des vecteurs de :

Commutativité

Exemples :

  • Commutativité dans , , et pour l'addition et la multiplication

  • Non commutativité du produit vectoriel dans l'ensemble des vecteurs de :

Distributivité d'une loi * par rapport à une autre loi o :

Distributivité à gauche :

Distributivité à droite :

Si la loi est distributive à gauche et à droite par rapport à la loi , elle est dite distributive.

Exemple : Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans :

Eléments remarquables dans (E,* ) :

Elément neutre

est l'élément neutre pour la loi . Si existe il est unique

Exemples : Dans , est l'élément neutre pour l'addition ; est l'élément neutre pour la multiplication.

Eléments symétriques

: élément symétrique de a pour la loi

Exemples : dans , et sont symétriques (opposés) pour l'addition. Dans , et sont symétriques (inverses) pour la multiplication.

Eléments réguliers

Exemples :

  • Dans tout élément est régulier pour l'addition: .

  • Dans n'est pas régulier pour la multiplication car n'entraîne pas

  • Non régularité du produit vectoriel car n'entraîne pas .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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