Question 2
Durée : 7 mn
Note maximale : 8
Question
En déduire les valeurs exactes de : \(\cos \frac{17 \pi}{12}\) et \(\sin \frac{17 \pi}{12}\) puis de \(\cos \frac{13 \pi}{12}\) et \(\sin \frac{13 \pi}{12}\).
Solution
En identifiant les parties réelles et imaginaires de \(\underline{Z}_{2}\) et \(\underline{Z}_{3}\) sous les formes algébrique et trigonométrique nous obtenons :
\(\underline{Z}_{2} = 2 \sqrt{2} \left[\cos \frac{17 \pi}{12} + j \sin \frac{17 \pi}{12}\right] = 1-\sqrt{3} - j\left(1+ \sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow \cos \frac{17 \pi}{12} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\) et \(\sin \frac{17 \pi}{12} = - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\) ( 2 + 2 points )
\(\underline{Z}_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\cos \frac{13 \pi}{12} + j \sin \frac{13 \pi}{12}\right] = -\frac{1}{4} \left(\sqrt{3} + 1 + j \left(\sqrt{3} - 1\right)\right)\)
\(\Rightarrow \cos \frac{13 \pi}{12} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)et \(\sin \frac{13 \pi}{12} = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) ( 2 + 2 points )