Question 2
Durée : 6 mn
Note maximale : 8
Question
Combien de valeurs différentes l'expression \(\left(\cos \theta +j \sin \theta\right)^{2/3}\) est-elle susceptible de prendre ? (On pourra résoudre l'équation \(\left(\cos \theta + j \sin \theta\right)^{2/3} = \cos x +j \sin x\) et déterminer \(x\) en fonction de \(\theta\) ).
Conséquence sur l'application de la formule de Moivre dans le cas des exposants fractionnaires ?
Solution
Posons : \(\left(\cos \theta + j \sin \theta \right)^{2/3} = \cos x + j \sin x\). En élevant les deux membres au cube il vient :
\(\left(\cos \theta + j \sin \theta\right)^{2} = \left(\cos x + j \sin x\right)^{3} \Rightarrow \cos 2 \theta + j \sin 2 \theta = \cos 3x + j \sin 3x\) ( 2 points )
Cette égalité conduit à : \(3x = 2 \theta+ 2 k \pi\) d'où \(x=\frac{2}{3}\theta + \frac{2 k \pi}{3}\) il vient alors :
\(\left(\cos \theta + j \sin \theta\right)^{2/3} = \cos \left(\frac{2 \theta}{3} + \frac{2k\pi}{3}\right) + j \sin\left(\frac{2 \theta}{3} + \frac{2k\pi}{3}\right)\)
\(= \left(\cos \frac{2 \theta}{3} + j \sin \frac{2 \theta}{3}\right)\left(\cos \frac{2 k \pi}{3} + j \sin \frac{2 k \pi}{3}\right)\) ( 4 points )
L'expression considérée prend donc 3 valeurs différentes. La formule de Moivre n'est donc pas applicable dans le cas d'exposants fractionnaires. ( 2 points )