Nombres complexes

Posons \(\underline{z} = x+jy\) l'une des racines carrées de \(8 + 6j\)

d'où : \(\underline{z}^{2} = \left(x+jy\right)^{2} = x^{2} - y^{2} + j 2xy = 8+6j\)

Par identification des parties réelles et imaginaires nous obtenons :

\(x^2 - y^2 = 8\) ( 2 points )

\(xy = 3 > 0\) ( 2 points ) ( les variables réelles \(x\) et \(y\) sont du même signe)

D'autre part : \(\arrowvert \underline{z}^{2} \arrowvert = x^{2} + y^{2} = \arrowvert 8+6j \arrowvert =\sqrt{8^{2} + 6^{2}}=10\)

Le système \(\left\{\begin{array}{llll}x^{2} - y^{2} = 8\\ x^{2} + y^{2} = 10 \end{array}\right.\) ( 2 points ) a pour solutions \(\left\{\begin{array}{llll}x^{2} = 9 \Rightarrow x=\pm3 \qquad ( 1 \textbf{point} ) \\ y^{2} = 1 \Rightarrow y=\pm1 \qquad( 1 \textbf{point} )\end{array}\right.\)

Comme \(xy > 0\) , les deux racines sont :

\(\underline{z}_{1} = 3+j\) ( 2 points )

\(\underline{z}_{2} =- \underline{z}_{1} = -3-j\) ( 2 points )