Question 1
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
En physique, de nombreux systèmes mécaniques ou électriques, sont régis par une équation différentielle du 2ème ordre à coefficients constants :
\(ax''(t) + bx'(t) + cx(t) = k \cos \omega t\)
On peut considérer \(x(t)\) comme la partie réelle d'une fonction complexe \(\underline{z}(t)\) solution de l'équation :
\(a \underline{z}''(t) + b \underline{z}'(t) + c \underline{z}(t) = k e^{j\omega t}\)
Déterminer l'amplitude \(A\) et la phase \(\varphi\) d'une solution particulière cherchée sous la forme complexe : \(\underline{z}(t) = A e^{j(\omega t + \varphi)} = \underline{A} e^{j \omega t}\) avec \(\underline{A} = A e^{j \varphi}\) amplitude complexe.
Solution
En cherchant une solution particulière sous la forme \(\underline{z}(t) = \underline{A}e^{j \omega t}\) nous avons :
\(\underline{z}'(t) = j \omega ~\underline{A} ~e^{j \omega t}\) ( 1 point ) et \(\underline{z}''(t) = j^{2} \omega^{2} \underline{A} e^{j \omega t} = - \omega^{2} \underline{A} e^{j \omega t}\) ( 1 point ) d'où :
\(\left(-a \omega^{2} + j b \omega +c \right) \underline{A}e^{j \omega t} = k e^{j \omega t}\)
après simplification :
\(\left[\left(c-a\omega^{2}\right)+jb\omega\right] \underline{A} = k\)
cette équation est de la forme \(\underline{B} \cdot \underline{A} = k\) avec \(\underline{B} = B e^{j \theta}\)
où \(B = \left[\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+b^{2}\omega^{2}\right]^{1/2}\) et \(\theta = \textrm{Arctan} \left(\frac{b \omega}{c-a \omega^{2}}\right)\)
puis \(\underline{A} = A e^{j \varphi}\) et \(\underline{k} = k e^{j 0} = k\) . De la relation \(\underline{B} \cdot \underline{A} = \underline{k}\) nous tirons :
\(\arrowvert \underline{B}\arrowvert \cdot \arrowvert \underline{A}\arrowvert = \arrowvert \underline{k}\arrowvert \Rightarrow B \cdot A = k \Rightarrow\)
\(A = \frac{k}{\left(\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+b^{2}\omega^{2}\right)^{1/2}}\) ( 4 points )
\(\arg\left(\underline{B}\right)+\arg\left(\underline{A}\right) = \arg\left(\underline{k}\right)\Rightarrow \theta + \varphi = 0 \Rightarrow\)
\(\varphi = - \theta = - \textrm{Arctan} \left(\frac{b \omega}{c - a \omega^{2}}\right)\) ( 4 points )